2 integration Q.

1. 設 a, b > 0.
∫ dx/[(ax)²-b²]
=(1/a²) ∫ dx/(x²-c²) , c=b/a
=-1/(ab) tanh^(-1) (x/c) + C
=-1/(ab) tanh^(-1) (ax/b) + C

2.
設a≠0
∫ dx/[(ax²+c)-b²] =(1/a) ∫ dx/(x²+k), k=(c-b²)/a
if k=(c-b²)/a =0, then the ans. is -1/(ax) +C
if k=(c-b²)/a > 0, then the ans. is 1/(a√k) arctan( x/√k) +C
if k=(c-b²)/a < 0, then the ans. is -1/[a√(-k)] arctanh[ x/√(-k) ] + C


2011-12-18 16:20:33 補充：
∫ dx/(x²+a²)= (1/a)arctan(x/a)+C
∫ dx/(a²-x²)=(1/a)arctanh(x/a)+C
都是基本公式,還要證明嗎?
另第1題, a, b都是平方, 沒必要討論a, b < 0, or 可將答案記為1/|ab| arctanh( |a|x/|b|) +C

In 1.
Why you ignore the case a,b<0