挑戰概率題 2

現代排球的一局中, 決定勝方的方式如下:

1) 採用直接得分制, 即每一分的勝方會得一分兼下一分的發球權
2) 任何一方先到 25 分為該局勝方, 惟;
3) 在到達 25 分必須拋離 2 分或以上方為獲勝, 即若果出現 24-24 的局面時, 則必須繼續比賽直至任何一方拋棄對手 2 分. (俗話所謂弔時 deuce)

問題為:

兩隊 A 和 B 在一局中比賽, 若在每一分:

1) A 隊發球時, 其得分的概率為 p
2) B 隊發球時, A 隊得分的概率為 q
3) 每一分的得分機會皆為 independent, 即之前每分的結果皆不會影響到本分的機率.

試求出 A 隊在本局得勝的機率, 並以以下 cases 考慮:

1) 由 A 隊開始發球 (即 0 - 0 時), 最後不用弔時
2) 由 A 隊開始發球, 最後要弔時
3) 由 B 隊開始發球, 最後不用弔時
4) 由 B 隊開始發球, 最後要弔時