關於拉格朗日方程的問題

L=T-U
我舉簡單的單擺運動之型，擺長L，擺角為STA，重力G，
變化關係是誰？(即你的廣義座標x,y,x',y',sta,sta',t.....)其中x' and y' .. 對 t 微分
既然定義出t，該STA變化運動隨t改變，用微分的鎖鍊法去改寫
dx/dt = dx/d(sta) * d(sta)/dt
其滿足動能跟位能交換的邏輯，當然與位能有關係。
我舉個例題

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AB00288340/o/161112120798813872851220.jpg

定義擺的支點為原點(0,0)且擺的X,Y標變化關係
X= Lsin(STA) x'=dX/dt=dx/d(sta) * d(sta)/dt = Lcos(sta)*(sta)'
Y= - Lcos(STA)y'=dY/dt=dy/d(sta) * d(sta)/dt = Lsin(sta)*(sta)'

L=0.5 * mx'^2 +0.5 * my'^2 - mgh (Lagrangian function L=T-U)
其中啊~Vx=x' .. Vy=y'(向量關係要分開處理最後加起來才是V(x,y) )
g=g m=m h=Y= - Lcos(STA)
(這裡的h是指位能高度，當STA等於0，位置對於原點(支點)於 - L 等等做計算會去與 - L作差值，90度即得0 - (-L)=L之最大位能符合物理意義 )
L=0.5*m*[ Lcos(sta)*(sta)']^2 + 0.5*[ Lsin(sta)*(sta)']^2 + mg*Lcos(STA)
整理後0.5*L^2 *(sta')^2 [sin(sta)^2 + cos(sta)^2] + mgLcos(STA)
sin(sta)^2 + cos(sta)^2 =1
故L=0.5*m*L^2 *(sta')^2 + mgLcos(STA)這L是你最後一張圖的Fj裡的V，
那qj(廣義作標)在此題是指sta，有對t微分為sta'，這是兩個廣義座標別混到了。
帶入到你最後一張圖的偏微分方程，這是為什麼只對該偏微分子偏微的原因
對我剛才算出來的L以sta'偏微分。
partial L / partial sta' = 0.5*2*m*L^2*sta' + 0(第二項沒有sta'故偏微為0)
在以t微分，唯一與時間有關係的就是sta'，對時間微分變成sta''
故得mL^2 (sta'')
再來要處理你圖片的F後項的partial L / partial sta
對sta偏微分，只有L的第二項有關係，得 - mgLsin(sta)
So...
F=mL^2 (sta'') - (-mgLsin(sta) ) = 0
求運動方程式(通常拉格朗日都是求這個)sta'' 將上式移項即可得到
sta'' = -gsin(sta) / L

打很亂，你稍微一邊看一邊在旁邊用白紙寫著就能了解整串的計算形式了，至於其他的我想我能解釋的就解釋了，詳盡應該很難...尤其是那個證明

2011-12-13 02:09:08 補充：
歐對了，
上面文章有些大寫有些小寫變來變去，其實G跟g是一樣的，
sta跟STA是一樣的
偏微分就是partial，其實主要就是對X軸跟Y軸之速度、加速度、向量關係做處理，位置變化影響到Vx與Vy的方向性，主要是這些....至於廣義作標，請把他們當作向量，而且各自互相垂直的座標(可以有4..5..6...更多維度，你無法想像但可以用數學做到)維持他們的正交性，應該是這樣的意思。

2011-12-13 23:43:27 補充：
你應該是物理系的學生吧，拉格朗日在古典力學上占有一些份量，但是不是每一題都會用到他，就我用拉格朗日去解很多令人無言的題目如複擺跟彈簧擺，或是棍子掉下來的速度拉之類的，但一律都考慮的是「剛體運動」，剛體運動這名詞維基查得到，就白話來說，就是繩子不會彈、不會Q，很生硬的一根繩子在那邊擺動，就深入來說，也就是不考慮例如擺繩是否帶彈性、是否繩張力因外力導致降低等這種太多變數的問題(但現實生活哪會沒有?)，要考慮進去，拉格朗日的公式就無法使用，且，任何力學問題都有各種方法，跟拉格朗日類似但好像又比他高級一點的，哈密頓方程式，一樣是解類似題，用的也很像，但是他是H=T+U

2011-12-13 23:43:32 補充：
但他們兩者好像都是要去求出模型的運動方程式為解題的目標，如果題目改問一條質量M且密度均勻的繩子在桌面平躺，T=0的時候開始拉起問當拉到一半的時候他的F加速度是多少這種，拉格朗日無用

2011-12-14 19:14:42 補充：
二下的期末考都在考這個還有另外一個類似的哈密頓，這算不難有畫面的解題技巧了。

1. 有關 Lagrange's eq. 的部分證明:

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC01979561/o/161112120798813872851230.jpg


2. 有關廣義力 & 位能的推導:

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC01979561/o/161112120798813872851231.jpg


PS: 虛定 => 虛功 .

3. 注意: Lagrangian 為時間, 廣義座標, 廣義速度 的外顯函數 , 而非內蘊函數 !

當k(q,t), 表示k為q和t的函數

當k要全微分的時候,改成各變數的偏微分, 要微每一個變數, 算式如下:
dk/dt=∂k/∂t + (∂k/∂q)(∂q/∂t)
=∂k/∂t +(∂k/∂q)q' -------------a式. 其中以q'代表q對t微分

若座標q有很多個, 則最後一項需微每一個座標,
因此可用sigma 符號代表總和
並將k用 ∂r/∂q帶入a式
dk/dt= d(∂r/∂q)/dt
帶入a式=∂(∂r/∂q)/∂t + (∂(∂r/∂q)/∂q) q'
=你的第一式

你的第二式廣義力的式子是推導出來的結果, 是沒有錯的.
是的, L通常寫成座標和速度的函數
例如動能是速度的函數(不是位置的函數)
而位能是座標的函數(不是速度的函數)

所以L=T-V 是座標和速度的函數很合理啊.

2011-12-14 10:16:56 補充：
拉格朗日+漢彌爾敦+廣義座標=ABOUT 3 WEEKS

2011-12-14 10:19:50 補充：
補充說明: (少了幾個字補上)
例如 在卡式座標
動能是速度的函數(不是位置的函數)
而位能是座標的函數(不是速度的函數)

最近有位一起玩競賽的朋友跟我說用拉格朗日去解一些物奧複試題可以秒殺....叫我有興趣可以看看，但我跟你一樣看不懂==

2011-12-14 00:28:27 補充：
拉格朗日看來不容易馬上學會，不知物理系花多久教這邊？