✔ 最佳答案
L=T-U
我舉簡單的單擺運動之型，擺長L，擺角為STA，重力G，
變化關係是誰？(即你的廣義座標x,y,x',y',sta,sta',t.....)其中x' and y' .. 對 t 微分
既然定義出t，該STA變化運動隨t改變，用微分的鎖鍊法去改寫
dx/dt = dx/d(sta) * d(sta)/dt
其滿足動能跟位能交換的邏輯，當然與位能有關係。
我舉個例題
圖片參考：
http://imgcld.yimg.com/8/n/AB00288340/o/161112120798813872851220.jpg
定義擺的支點為原點(0,0)且擺的X,Y標變化關係
X= Lsin(STA) x'=dX/dt=dx/d(sta) * d(sta)/dt = Lcos(sta)*(sta)'
Y= - Lcos(STA)y'=dY/dt=dy/d(sta) * d(sta)/dt = Lsin(sta)*(sta)'
L=0.5 * mx'^2 +0.5 * my'^2 - mgh (Lagrangian function L=T-U)
其中啊~Vx=x' .. Vy=y'(向量關係要分開處理最後加起來才是V(x,y) )
g=g m=m h=Y= - Lcos(STA)
(這裡的h是指位能高度，當STA等於0，位置對於原點(支點)於 - L 等等做計算會去與 - L作差值，90度即得0 - (-L)=L之最大位能符合物理意義 )
L=0.5*m*[ Lcos(sta)*(sta)']^2 + 0.5*[ Lsin(sta)*(sta)']^2 + mg*Lcos(STA)
整理後0.5*L^2 *(sta')^2 [sin(sta)^2 + cos(sta)^2] + mgLcos(STA)
sin(sta)^2 + cos(sta)^2 =1
故L=0.5*m*L^2 *(sta')^2 + mgLcos(STA)這L是你最後一張圖的Fj裡的V，
那qj(廣義作標)在此題是指sta，有對t微分為sta'，這是兩個廣義座標別混到了。
帶入到你最後一張圖的偏微分方程，這是為什麼只對該偏微分子偏微的原因
對我剛才算出來的L以sta'偏微分。
partial L / partial sta' = 0.5*2*m*L^2*sta' + 0(第二項沒有sta'故偏微為0)
在以t微分，唯一與時間有關係的就是sta'，對時間微分變成sta''
故得mL^2 (sta'')
再來要處理你圖片的F後項的partial L / partial sta
對sta偏微分，只有L的第二項有關係，得 - mgLsin(sta)
So...
F=mL^2 (sta'') - (-mgLsin(sta) ) = 0
求運動方程式(通常拉格朗日都是求這個)sta'' 將上式移項即可得到
sta'' = -gsin(sta) / L
打很亂，你稍微一邊看一邊在旁邊用白紙寫著就能了解整串的計算形式了，至於其他的我想我能解釋的就解釋了，詳盡應該很難...尤其是那個證明
2011-12-13 02:09:08 補充：
歐對了，
上面文章有些大寫有些小寫變來變去，其實G跟g是一樣的，
sta跟STA是一樣的
偏微分就是partial，其實主要就是對X軸跟Y軸之速度、加速度、向量關係做處理，位置變化影響到Vx與Vy的方向性，主要是這些....至於廣義作標，請把他們當作向量，而且各自互相垂直的座標(可以有4..5..6...更多維度，你無法想像但可以用數學做到)維持他們的正交性，應該是這樣的意思。
2011-12-13 23:43:27 補充：
你應該是物理系的學生吧，拉格朗日在古典力學上占有一些份量，但是不是每一題都會用到他，就我用拉格朗日去解很多令人無言的題目如複擺跟彈簧擺，或是棍子掉下來的速度拉之類的，但一律都考慮的是「剛體運動」，剛體運動這名詞維基查得到，就白話來說，就是繩子不會彈、不會Q，很生硬的一根繩子在那邊擺動，就深入來說，也就是不考慮例如擺繩是否帶彈性、是否繩張力因外力導致降低等這種太多變數的問題(但現實生活哪會沒有?)，要考慮進去，拉格朗日的公式就無法使用，且，任何力學問題都有各種方法，跟拉格朗日類似但好像又比他高級一點的，哈密頓方程式，一樣是解類似題，用的也很像，但是他是H=T+U
2011-12-13 23:43:32 補充：
但他們兩者好像都是要去求出模型的運動方程式為解題的目標，如果題目改問一條質量M且密度均勻的繩子在桌面平躺，T=0的時候開始拉起問當拉到一半的時候他的F加速度是多少這種，拉格朗日無用
2011-12-14 19:14:42 補充：
二下的期末考都在考這個還有另外一個類似的哈密頓，這算不難有畫面的解題技巧了。
