統計 機率 抽球的條件機率

一袋中有5個白球和3個黑球，一次從袋中取出3個球，請問在抽出的第3個
為白球的情況下，第1個為黑球的機率是多少?
(1)採抽後放回
(2)採抽後不放回
Sol
題目可改為
一袋中有5個白球和3個黑球，一次從袋中取出3個球，請問在抽出的第1個
為白球的情況下，第2個為黑球的機率是多少?
(1)採抽後放回
(2)採抽後不放回
……
(1) p=3/(5+3)=3/8
(2) p=3/(5+3－1)=3/7

nCr:排列組合

P(黑 _ 白| _ _ 白)
(1)採抽後放回
P(黑 _ 白| _ _ 白)=3*8*5/8*8*5=3/8



(2)採抽後不放回
P(黑 _ 白| _ _ 白)=[C(3,1)*C(2,1)*C(5,1)+C(3,1)*C(5,1)*C(4,1)]/[C(5,1)*P(7,2)]
=(3*2*5+3*5*4)/5*7*6=90/210=3/7

A 是抽出的第 3 個球為白球的事件
B 是抽出的第 1 個球為黑球的事件
(1) 抽後放回
所求=P(B|A)
=P(B∩A)/P(A)
=(3/8)(5/8)/(5/8)
=3/8

(2) 抽後不放回
抽出的第 3 個球為白球的情況如下
1. 白球、白球、白球
其機率=(5/8)(4/7)(3/6)=5/28
2. 白球、黑球、白球
其機率=(5/8)(3/7)(4/6)=5/28
3. 黑球、白球、白球
其機率=(3/8)(5/7)(4/6)=5/28
4. 黑球、黑球、白球
其機率=(3/8)(2/7)(5/6)=5/56
P(A)=5/28+5/28+5/28+5/56=5/8
抽出的第 1 個球為黑球且第 3 個球為白球的情況如下
1. 黑球、白球、白球
其機率=(3/8)(5/7)(4/6)=5/28
2. 黑球、黑球、白球
其機率=(3/8)(2/7)(5/6)=5/56
P(B∩A)=5/28+5/56=15/56
所求=P(B|A)
=P(B∩A)/P(A)
=(15/56)/(5/8)
=3/7