向量問題 : 點積

設向量ａ＝(ｘ1,ｙ1),向量ｂ＝(ｘ2,ｙ2)為兩個非零向量，θ為其夾角(０≦θ≦π）向量ａ與向量ｂ的內積（記作向量ａ．向量ｂ）
＝向量ａ的長 × 向量ｂ的長 × cosθ
＝ｘ1．ｘ2＋ｙ1．ｙ2向量的內積 = (向量A在向量B方向的投影量)*(向量B的大小) = (向量B在向量A方向的投影量)*(向量A的大小)
在靜力學中，有時需要求取兩直線間的夾角，或求取某力與某一直線互相平行和垂直的分力。在二維平面問題中，此類問題是非常容易以三角學予以解決；但對三維空間的問題，則較難處理，而必須利用向量的方法來求解。向量內積 (dot product) 是一種處理兩個向量乘積的特殊方法，用來解決上述的問題。兩向量 A 和 B 的內積寫成 A．B，讀作 "A dot B"，定義為 A 和 B 兩向量的大小與其夾角的餘弦函數的乘積，其方程式之形式為A˙B = AB cosθ，其中 0°≦θ ≦180°。向量內積的結果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。


2011-12-10 12:47:24 補充：
你可以想像成你抓住繩子拉一個木塊(繩子與桌面平行)
用的力量是1公斤(1公斤全部作用在X方向)
可是今天如果你把繩子往上移一個角度
你會發現便難拉了
因為斜線的1公斤力量會分一部份到Y方向
這時候X方向的力量變小了
而且要拉動木塊一定要用X方向的力
所以內積意義在於你可以將一個斜線的"量"
求出他在某個方向的分量

2011-12-10 12:53:34 補充：
以平面座標系來看,每個向量都可分成在X軸方向及Y軸方向的兩個分量
依合力觀念:當X軸與Y軸為正交(垂直)時,兩個分量彼此獨立互不影響,所以向量A=向量Ax + 向量Ay, 向量B = 向量Bx + 向量By,代入,內積 = (向量A在向量B方向的投影量)*(向量B的大小)= (Ax在X軸投影量)*(Bx) + (Ax在Y軸投影量)*(By) + (Ay在X軸投影量)*(Bx) + (Ay在Y軸投影量)*(By),但X軸與Y軸直交 => Ax在Y軸投影量 = Ay在X軸投影量 = 0,且Ax在X軸投影量 = Ax, Ay在Y軸投影量 = Ay,所以A．B= AxBx + AyBy

2011-12-10 12:53:41 補充：
內積最重要的原則就是"同方向"在物理學上最顯見的就是"作功" = 同方向的施力 * 同方向的位移

2011-12-12 13:14:37 補充：
SINce work, W, is the product of the force and the distance through which the force is applied. It can be represented by a dot product: where F is the applied force which may or may not be entirely in the same direction as s, the distance the object moves. Therefore we need |F| times cosθ.

2011-12-12 13:16:19 補充：
force which may or may not be entirely in the same direction as s, thus we should w=|F|*cosθ*|s|.

2011-12-12 19:44:43 補充：
the inner product(dot product) may positive, if 0<θ<π/2 ;0 , if θ=π/2 or negative ,if π/2<θ<π.

to X:

你的證明當中有運用到點積的定義(e.g. A.A = |A|^2)

以點積的定義來導出點積的定義

這不是循環論證嗎??@@

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD01636710/o/151112100246713872073040.jpg


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD01636710/o/151112100246713872073051.jpg

希望對你有幫助...