min. and max.

*****************************************************************
設
0 < a < 4 ,
0 < b < 9則x² + ay² ≥ xy 2√a
,
(4 - a)y² + bz² ≥ 2yz √( (4 - a)b )
,
(9 - b)z² + 16u² ≥ 4zu 2√(9 - b)
令 2√a = √( (4 - a)b ) = 2√(9 - b)解得正根 a = (17 - √145) / 2 , b = (1 + √145) / 2
三式相加 :x² + 4y² + 9z² + 16u² ≥ (xy + 2yz + 4zu) 2√( (17 - √145) / 2 ) (xy + 2yz + 4zu) / (x² + 4y² + 9z² + 16u²) ≤ 1 / √(34 - 2√145) ≈ 0.317551366僅當 x = √a y , √(4 - a) y = √b z 及 √(9 - b) z = 4u
即 x : y : z : u ≈ 8.28275 : 5.2604 : 2.54041 : 1 時取等號。
故 f(x,y,z,u) 的最大值是 1 / √(34 - 2√145) ≈ 0.317551366。
類似地, 由 - (x² + ay²) ≤ xy 2√a
,
- ( (4 - a)y² + bz² ) ≤ 2yz √( (4 - a)b )
,
- ( (9 - b)z² + 16u² ) ≤ 4zu 2√(9 - b)
得
(xy + 2yz + 4zu) / (x² + 4y² + 9z² + 16u²) ≥ - 1 / √(34 - 2√145) ≈ - 0.317551366
可在最大值時 x : y : z : u ≈ 8.28275 : 5.2604 : 2.54041 : 1 的基礎上令x : y : z : u ≈ 8.28275 : - 5.2604 : - 2.54041 : - 1 取得等號。
故 f(x,y,z,u) 的最小值是 - 1 / √(34 - 2√145) ≈ - 0.317551366。

2011-11-28 18:46:17 補充：
可在最大值時 x : y : z : u ≈ 8.28275 : 5.2604 : 2.54041 : 1 的基礎上令

x : y : z : u ≈ 8.28275 : - 5.2604 : 2.54041 : - 1 取得等號。