奧林匹亞決賽題目(有點難度喔)20點~~

設原來有x顆，最後剩y顆，x,y都是整數，列出x,y的關係式：
0.8{0.8{0.8{0.8[0.8(x-1)-1]-1}-1}-1}=y
→0.8{0.8{0.8[0.8(x-1)-1]-1}-1}=(5/4)y+1
→0.8{0.8[0.8(x-1)-1]-1}=(5/4)^2*y+(5/4)+1
→0.8[0.8(x-1)-1]=(5/4)^3*y+(5/4)^2+(5/4)+1
→0.8(x-1)=(5/4)^4*y+(5/4)^3+(5/4)^2+(5/4)+1
→x=(5/4)^5*y+(5/4)^4+(5/4)^3+(5/4)^2+(5/4)+1
→x=(3125/1024)y+2101/256
→變成不定方程1024x-3125y=8404

用輾轉相除法縮小係數
3125y+8404≡0(mod 1024) →53y+212≡0(mod 1024)
令53y+212=1024a
1024a-212≡0(mod 53) → 17a+0≡0(mod 53)，a=0符合，
代回53y+212=1024a得y=-4，代回1024x-3125y=8404得x=-4

得特解(x,y)=(-4,-4)故通解為x=-4+3125t , y=-4+1024t，t為整數
故最少3121顆(接下來依序是6246顆、9371顆、12496顆.....，3906顆並不符合)

2011-11-24 17:50:20 補充：
版主您的補充與本文是矛盾的。

(3906-1)/5=781
(781-1)/5=156
(156-1)/5=31
(31-1)/5=6
(6-1)/5=1
若是這樣的話，那應該是每個人拿1顆後，再拿整袋的「5分之4」才對
剩下5分之1，表示拿了5分之4

2011-11-24 17:57:17 補充：
如果是
有一堆彈珠
甲拿1顆後，再拿整袋的5分之4
乙拿1顆後，再拿整袋的5分之4
丙拿1顆後，再拿整袋的5分之4
丁拿1顆後，再拿整袋的5分之4
戊拿1顆後，再拿整袋的5分之4
----------
(781-1)/5=156
(156-1)/5=31
(31-1)/5=6
(6-1)/5=1
(1-1)/5=0
所以最少是781顆，最後剩0顆(全部拿完)

2011-11-24 18:05:32 補充：
因為781=1+5^1+5^2+5^3+5^4

N = 3121
3121 - 1 = 3121, 3121/5*4 = 2496
2496 - 1 = 2495, 2495/5*4 = 1996
1996 - 1 = 1995, 1995/5*4 = 1596
1596 - 1 = 1595, 1595/5*4 = 1276
1276 - 1 = 1275, 1275/5*4 = 1020

3906根本不合.

3906-1=3905
3905*1/5=781
3905-781=3124
3124-1=3123
3123*1/5=???

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