請問積分次序對調積分範圍會如何改變

1. ∫_[0~t] f(τ)e^(-st) dτ can't be calculated directly(since f(τ) is unknown.)
2.{ (τ, t) | 0 < τ < t , 0 < t < ∞} (fixed t then t < τ < ∞)
={(τ, t) | τ < t < ∞, 0 < τ < ∞} (fixed τ then τ < t < ∞)
so ∫_[0~∞]∫_[0~t] f(τ) e^(-st) dτ dt (change the order of integration)
=∫_[0~∞] ∫_[τ~∞] f(τ) e^(-st) dt dτ
=∫_[0~∞] f(τ) e^(-sτ) (1/s) dτ
=(1/s)∫_[0~∞] f(τ)e^(-sτ) dτ
=(1/s)∫_[0~∞] f(t)e^(-st) dt (dummy variable)
=(1/s)L{f(t)}

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本來的積分範圍: 0≦τ≦t, 0≦t<∞
也就是 0≦τ≦t<∞
換成 t 先積分, 所以 τ 是給定的, 所以 τ≦t<∞
而 t 積掉以後, 剩下 0≦τ<∞