求(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120的因式分解

求(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)－120的因式分解
Sol
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)－120
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)－120
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)－120
=[(x^2+5x)+4]*[(x^2+5x)+6]－120
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24－120
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)－96
=(x^2+5x－6)(x^2+5x+16)
=(x－1)(x+6)(x^2+5x+16)

謝謝YURI ，這樣我非常懂了!

120 的因數有:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

其中 4 個連續數 2, 3, 4, 5 相乘後可得出 120

所以當 x + 1, x + 2, x + 3 和 x + 4 分別為 2, 3, 4, 5 或 -5, -4, -3, -2 時, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 120 = 0

換言之, x = 1 或 -6 皆可令 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 120 = 0

即 x - 1 和 x + 6 皆為 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 120 的因式

而 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 120 的常數項為 -96, 所以:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 120 = (x - 1)(x + 6)(x2 + kx - 16) 其中 k 為常數

比較 x3 的系數:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 120 的系數 = 10

(x - 1)(x + 6)(x2 + kx - 16) 的系數 = -1 + 6 + k = k + 5

即 k + 5 = 10, k = 5

所以:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 120 = (x - 1)(x + 6)(x2 + 5x - 16)

(x-1)(x+6)(x^2+5x+16)

2011-11-17 14:24:25 補充：
原式=(x=1)(x+4)(x+2)(x+3)-120
前二項相乘，後兩項相乘
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-120
設a=x^2+5x
則上式=(a+4)(a+6)-120
=a^2+10a+24-120
=a^2+10a-96
一元二次因式分解…可用十字交乘
=(a-6)(a+16)
再把a代回x
=(x^2+5x-6)(x^2+5x+16)
=(x-1)(x+6)(x^2+5x+16)