求(x+1)(X+2)(X+3)(X+4)+3x^2的因式分

(x+2)(x+4)(x+6)(x+12)+3x^2的因式分解
Sol
(x+2)(x+4)(x+6)(x+12)+3x^2
=(x+2)(x+12)(x+4)(x+6)+3x^2
=(x^2+14x+24)(x^2+10x+24)+3x^2
=[(x^2+24)+14x]*[(x^2+24)+10x]+3x^2
=(x^2+24)^2+24x(x^2+24)+140x^2+3x^2
=(x^2+24)^2+24x(x^2+24)+143x^2
=[(x^2+24)+11x]*[(x^2+24)+13x]
=(x^2+11x+24)(x^2+13x+24)
=(x+3)(x+8)(x^2+13x+24)

都是整數，直接拆開用整係數一次因式檢驗吧!!
deg=4，要嘛一定可以拆出一次因式，要嘛就兩個二次不可分相乘
沒有了就不可分了(當然是考慮係數在Q之時)

首先, 撇除 x = 0 的可能性 (直接代入即知不等於 0)

所以 3x2 必為正數. 若要 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) + 3x2 = 0, (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) 必需為負數, 即:

x = -3 時, x + 2 > 0, x + 4, x + 6, x + 12 > 0, 即 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) < 0

x = -7, -8, -9, -10 或 -11 時, x + 2, x + 4, x + 6 > 0, x + 12 > 0, 即 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) < 0

而 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) + 3x2 的常數項 = 576, 可被 3, 6 和 8 除盡

所以 x 的可能性為 -3, -6 和 -8

代入後, 得出當 x = -3 或 -8 時, (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) + 3x2 = 0

所以, x + 3 和 x + 8 皆為 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) + 3x2 的因式.

寫成:

(x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) + 3x2 = (x + 3)(x + 8)(x2 + kx + 24) 其中 k 為常數.

比較 x3 系數

(x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) + 3x2 為 24

(x + 3)(x + 8)(x2 + kx + 24) 為 3 + 8 + k = k + 11

即 k + 11 = 24, k = 13

所以 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 12) + 3x2 = (x + 3)(x + 8)(x2 + 13x + 24)

(X+3)(X+8)(X^2+13X+24)

最後應該是常數且與前面常數項合併可分解否則無法因式分解

X^4+10X^3+35X^2+50X+3X^2+24

別問我怎麼算的,因為這是腦算的...