數學知識交流---求證

魏琴伯克 (Weitzenberk)不等式有多種證法 ,下面給出思路較自然的 2 種簡捷證法 :

證法一 : 三角比差a² + b² + c² - 4A√3 = a² + b² + (a² + b² - 2ab cosC) - 4 (1/2)(ab sinC) √3= 2 ( a² + b² - ab cosC - √3 ab sinC ) = 2 ( a² + b² - 2ab ( (1/2)cosC + (√3/2) sinC ) )= 2 ( a² + b² - 2ab ( sin30° cosC + cos30° sinC) )= 2 ( a² + b² - 2ab sin(C + 30°) ) ≥ 2 ( a² + b² - 2ab ) 僅當 sin(C + 30°) = 1 即 C = 60° 時取等號。 = 2 (a - b)²≥ 0 僅當 a = b 時取等號。綜上 a² + b² + c² ≥ 4A√3 僅當 a = b 及 C = 60° 時即正△時取等號。

證法二 : 海倫公式4√3 √( p (p - a) (p - b) (p - c) ) = 4A√3√ ( 3 (2p) 2(p - a) 2(p - b) 2(p - c) ) = 4A√3√ ( 3 (a + b + c) (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c) ) = 4A√3 √ ( 3 (a + b + c) ( (- a + b + c) + (a - b + c) + (a + b - c) ) / 3 )³ ) ≥ 4A√3 由三角形2邊和大於第3邊得 (- a + b + c) , (a - b + c) , (a + b - c) > 0 ,
僅當 (- a + b + c) = (a - b + c) = (a + b - c) 即 a = b = c 時取等號。 √ ( 3 (a + b + c) ( (a + b + c) / 3 )³ ) ≥ 4A√3(a + b + c)² / 3 ≥ 4A√3( a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ) / 3 ≥ 4A√3因 (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² ≥ 0 , 有( a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca + (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² ) / 3 ≥ 4A√3
依然僅當 a = b = c 時取等號 , ==>a² + b² + c² ≥ 4A√3綜上僅當 a = b = c 即正△時取等號。

設那是一個直角三角形.所以a=3,b=4.c=5
c=√(a^2+b^2)
面積便=3x4/2=6
a^2 + b^2 + c^2 = 9+16+25 = 50
4x6x√3=41.57
所以 a^2 + b^2 + c^2 ≧ 4A√3