✔ 最佳答案
因為 lim_{x→c} f(x) = L 的意思是:
我們能讓 f(x) 任意接近或等於 L, 只要 x 夠接近 c 而不等於 c.
因此,
(1) 我們先定一個標準 ε>0, 當 |f(x)-L|<ε 時, 我們認為 f(x) 很接近 L.
由於 "f(x) 任意接近或等於 L" 的要求, 這個 ε 是我們可以 "任意"
定的 ... 這個 "任意" 的 ε>0, 在實務上就是我們能容許多少誤差.
(2)要達到上列目標, "只要 x 夠接近 c 而不等於 c" 就能達到, 也就
表示: 存在一個範圍 (存在 δ>0) 當 |x-c|<δ 而且 x≠c, 都要保證
上述目標(1)能達成.
如果改成 "對所有δ>0 ，存在 ε>0 ..." 將會發生什麼事?
那表示:
對任意以 c 為中心的範圍 |x-c|<δ, x≠c, |f(x)-L| 會有個上界 ε.
如果 f 是有界的, |f(x)-L|≦|f(x)|+|L| 不管在什麼樣的範圍都有界,
不管 L 取什麼值都是對的. 這和 "極限" 要表達的意思是不相干
的.
2011-11-12 17:28:29 補充：
|f(x)-L| 會有個上界，那會有什麼問題嗎？
是沒問題啊! 只是這樣的話, 和 lim f(x) = L 一點關係也沒有!
因為 |f(x)-A|, 對任何 A 而言, 都是有界的.
而且, |f(x)-L| 有上界是對 "f(x) 有界" 而言的. 若 f(x) 在考慮的範圍無界,
即使考慮的極限存在, |f(x)-L| 也不保證有界. 例如 f(x) = 1/x, c=1, lim f(x)=1,
但取 δ=1 時, 0<|x-1|<1 即 0<1 與 1<2 這兩塊, 而 |1/x-1| 在 x 靠近 0
時無上界.
2011-11-12 17:29:04 補充：
以上說明了你考慮的想法是有問題的.
但, 更重要的是: "極限" 究竟在說什麼?
從極限的意義去思考.
而不是從 ε, δ 哪個先決定去思考.
2011-11-12 17:34:55 補充：
怕你不懂 "以上說明了你考慮的想法是有問題的" 是什麼意思.
如果以你說的來考慮 lim f(x) = l 這件事的話, 那麼:
(1) 若 f(x) 有界, 則任何 A 取代 L 都滿足你的說法.
(2) 若 f(x) 無界, 則即使 lim f(x) = L 存在, 也不滿足你說的條件.
也就是說, 你說的條件, 與 lim f(x) = L 是不相干的.
