微積分公式(求精準近似值)

sin(20°)=0.342020...
20°=π/9 ~0.34906585
sinx= x- x^3/3!+ x^5/5! - .... (where x is measured in Radian not in Degree)
sin(20°)=sin(π/9)~ π/9 - (π/9)^3 /6+ (π/9)^5 / 120- ...
~0.3020202684... (by calc.exe)

cosx=1- x^2/2!+ x^4/4!+ ...+(-1)^n x^(2n)/(2n)!+..., for x in R
-ln(1-x)= x+x^2/2+x^3/3+...+x^n/n+... ,for |x|<1
e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+..., for x in R
(1+x)^n= 1+nx+n(n-1)/2! x^2+ n(n-1)(n-2)/3! x^3 +..., for n in R and |x| < 1

依上面微積分公式(求精準近似值)算得在第11階層時：
Sin 20=-3948351........

sin(x) = x-x^3/3!+...+(-1)^{n-1}x^{2n-1}/(2n-1)!+...

算到 n=11 時, 即算到 20^21/21! 這一項, 則其誤差是
20^23/23! - 20^25/25! +...
這誤差太大了!

2011-11-16 10:20:06 補充：
也就是說, 如果不是算 sin(20度) 而是算 sin(20), 用
Taylor's 展開, 則算到 n=11 是不夠的. 若論要算到
n=多少, 那就考慮 |x|^{2n+1}/(2n+1)! 也就是 20^{2n+1}/(2n+1)!
當 n 是多少時才夠小可忽略吧!

在微積分中，所有角度都以弧度來度量。我們可以接著使用泰勒级數的理論來證明下列恆等式對於所有實數 x 都成立

我們可以用泰勒展開式來求出指數函數和三角函數的值，但是因為泰勒展開式只是種取其近似值的一種方法，所以他與實際上的值還是存在著些許誤差的。

泰勒展開式，是將一個函數以多項式來表示的一種方式。


1rad=180度/π≒57.29578度