較複雜極限之解，講述過程

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2011-11-09 6:17 am

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC07961827/o/161111080782313872961960.jpg
，則 a+b=?

Ans.

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC07961827/o/161111080782313872961971.jpg

解之第二行，在下看不太懂，為什麼分子可以單獨直接x->0去求極限，其分子取極限結果為0 原因?

更新1:

請問不需要考慮到分母?

更新2:

不好意思在下愚昧，若 lim f(x)/g(x) 存在, 而 lim g(x) = 0 則 lim f(x) = 0 這句話意思還是不太了解，我現在困惑就是，他先將分子部分有理化，然後分子部分整理後，他將分子母分開取lim x-> 0 然後分子取其極限為後為0，所以得a=1/2 這是我不解處

回答 (3)

rex

2011-11-09 6:43 pm

✔ 最佳答案

分式型極限值存在則分子/分母必為 0/0或 ∞/∞型

這題也可以用羅比達定理來做
原式=lim(x->0) [(1+2x)/2√(1+x+x^2)-a]/2x
=lim (1/2-a)/2x--> a=1/2

lim(x->0) [√(1+x+x^2)-(1+x/2)]/x^2]
=lim (3x^2/4)/[x^2(√(1+x+x^2)+(1+x/2)]
=lim (3/4)/2
=3/8
a+b=7/8

當然你也可以這樣看
原式=lim[(1+x+x^2)-(1+ax)^2]/[x^2(√(1+x+x^2)+(1+ax))]
=lim[(1-a^2)x^2+(1-2a)x]/[x^2(√(1+x+x^2)+(1+ax)]
=lim[(1-a^2)+(1-2a)/x]/[√(1+x+x^2)+(1+ax)]
=lim[(1-a^2)+(1-2a)/x]/2

這個極限要存在 -->(1-2a)=0, a=1/2
極限值 b=lim (1-a^2)/2=3/8

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老怪物

2011-11-09 9:09 am

它的意思是:
若 lim f(x)/g(x) 存在, 而 lim g(x) = 0 則 lim f(x) = 0

因 f(x) = (f(x)/g(x))*g(x)

故 lim f(x) = lim f(x)/g(x) lim g(x).

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[匿名]

2011-11-09 7:13 am

x->0的意思是趨近於0,所以直接用0代入

參考: 自己

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收錄日期: 2021-05-04 01:46:37
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20111108000016KK07823

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