多項式函數

由牛頓一次因式檢驗法知
若此方程式有有理根 則x=+-1,+-2
令此多項式為f(x)
f(1)=0--> 5-2p-q=0, 2p+q=5
p,q為自然數--> (p,q)=(1,3), (2,1)
f(-1)=0--> p,q 無解
f(2)=0--> 12=8p+q
(p,q)=(1,3)
f(-2)=0--> p,q 無解

設p，q 是自然數，且x^5－2px^4+x^3－qx^2+x+2有整數根，則數對(p，q)=?
Sol
F(x)=x^5－2px^4+x^3－qx^2+x+2
F(1)=1－2p+1－q+1+2=6－2p－q=0
2p+q=6
(1) p=1 =>q=4
(2) p=2 =>q=2
F(2)=32－32p+8－4q+2+2=44－32p－4q=0
8p+q=11
p=1 =>q=3
F(－1)=－1－2p－1－q－1+2=1－2p－q<>0
F(－2)=－32－32p－8－4q－2+2=－40－32p－4q<>0
(p，q)=(1，4) or (2，2) or (1，3)