問一題很難的數學!

本題用到算幾不等式
下面
">="為大於等於
"(x)^(1/3)"是指x的三分之一次方=三次根號x
1.
(x+y+z)/3>=(xyz)^(1/3)
可以求得
x=y=z=10/3時，xyz=1000/27為最小值
2.
[x*t^(y-z)+y*t^(z-x)+z*t^(x-y)]/3
>=[xyz*t^(y-z+z-x+x-y)]^(1/3)
=(xyz*t^0)^(1/3)
=(xyz)^(1/3)=(1000/27)^(1/3)=10/3
[x*t^(y-z)+y*t^(z-x)+z*t^(x-y)]>=10
且此時x=y=z=10/3符合1.
故
所求=10 為min

2011-11-06 00:00:25 補充：
我2.式在把xyz=1000/27時，就必須符合x=y=z=10/3，後面因為不會跟這個條件矛盾
所以可以確定我的結果是對的

2011-11-06 00:01:22 補充：
補充，我所說的"符合1"是指沒有跟1矛盾的意思

2011-11-06 00:52:50 補充：
不對我發現我的證明有問題~"~再檢查看看!!

2011-11-06 00:56:36 補充：
因為1.求出來的是最大值而不是最小值

2011-11-06 02:46:52 補充：
纏 ちゃん 大大~
若y-z也-->0 所求不一定--->0

2011-11-06 11:37:10 補充：
昨天想了一個小時，不管我怎麼代入數子~~好像真的都會比10大
可是我的證明還是不完備~"~

2011-11-06 11:39:27 補充：
纏 ちゃん 大大
您所說的t->0反而會造成整個式子->無限大所以不建議
這題目給條件沒有關於t的方程式
所以我才會想辦法把t這個未知數給消掉

也就是t的大小應該不會影響結果!!!

2*t^(-2)+5*t^(3)+5*t^(-1) → +∞ 當 t→0+

2011-11-06 10:34:05 補充：
把 "雲上太行" 的解說明一下:

x*t^(y-z)+y*t^(z-x)+z*t^(x-y) ≧ 3(xyz)^{1/3}
等式成立 if and only if x*t^{y-z)=y*t^{z-x}=z*t^{x-y}

x+y+z≧3(xyz)^{1/3},
等式成立 iff. x=y=z

因 x+y+z=10, 故 3(xyz)^{1/3}≦10, 等式成立 iff. x=y=z.

當 x=y=z 時, 得 x*t^(y-z)+y*t^(z-x)+z*t^(x-y) = x+y+z = 10.
以此 "雲上太行" 得結論: 所求 minimiu 為 10.

2011-11-06 10:38:13 補充：
但, 上述推論有問題!

在 x+y+z=10 條件下, xyz 可以小至 0.
只是此時 x*t^(y-z)+y*t^(z-x)+z*t^(x-y) 的值也比 3(xyz)^{1/3} 大.
而且 x, y, z 差異愈大, 上列兩者差異也愈大.
因此, 答案仍未知.



不過, 或許 "雲上太行" 的答案是正確?
如果 x, y, z 差異愈大, 可推知 x*t^(y-z), y*t^(z-x), z*t^(x-y) 差異更大,
那就可能兩者等值時是所求最小值.

2011-11-06 10:43:45 補充：
"minimum" 打成 "minimiu" 了!

2011-11-06 11:34:21 補充：
不失一般性, 設 x>y>z, 又令 a=x-y, b=y-z.
則要求 minimum 的式子可表示成 xt^b+yt^{-a-b}+zt^a.

與 x+y+z 相比: (xt^b+yt^{-a-b}+zt^a)/(x+y+z)
等於 t^b, t^{-a-b} 及 t^a 的加權平均數,
其權值依序為 x/(x+y+z), y/(x+y+z), z/(x+y+z).

由一般的算幾不等式,
(xt^b+yt^{-a-b}+zt^a)/(x+y+z)
　 ≧ (t^b)^{x/(x+y+z)}.(t^{-a-b})^{y/(x+y+z)}.(t^a)^{z/(x+y+z)}

2011-11-06 11:34:35 補充：
由一般的算幾不等式,
(xt^b+yt^{-a-b}+zt^a)/(x+y+z)
　 ≧ (t^b)^{x/(x+y+z)}.(t^{-a-b})^{y/(x+y+z)}.(t^a)^{z/(x+y+z)}
　　= t^{[bx+(-a-b)y+az]/(x+y+z)}
　　= t^{[(y-z)x+(z-x)y+(x-y)z]/(x+y+z)}
　　= t^0 = 1
即:
xt^(y-z)+yt^(z-x)+zt^(x-y) ≧ (x+y+z) = 10.


所以, "雲上太行" 的答案是對的!

纏 ちゃん 大大~
小弟我較贊成雲上太行大大的說法，所求值必>0並不代表其min=0
如您舉例
當x=2,y=3,z=5,t->0
x*t^(y-z)+y*t^(z-x)+z*t^(x-y)
=2*t^(-2)+5*t^(3)+5*t^(-1)
上式並不->0，因t->0時，負數次方反而會放大條件式值(因t<<1)

若t->0
則{ x*t^(y-z)+y*t^(z-x)+z*t^(x-y) } ->0

2011-11-06 03:32:27 補充：
tO:雲上太行

x*t^(y-z)+y*t^(z-x)+z*t^(x-y) 必>=0..你應該能接受吧?

題目是要問min
當x=2,y=3,z=5,t->0
x*t^(y-z)+y*t^(z-x)+z*t^(x-y)
=2*t^(-2)+5*t^(3)+5*t^(-1)
= ->0

2011-11-06 03:34:35 補充：
若y-z也-->0 所求不一定--->0 這句話沒錯
可是題目要問min

把y-z ->0..會讓原式變"大"

2011-11-06 03:36:14 補充：
PO應該抄錯題目

如果直接以他的題目來算
min就是->0

2011-11-06 12:13:57 補充：
mm
my answer is wrong

雲上太行大寫的完全證解阿!!

但是建議@@
2.x,y,z 跟1. 的算幾不等式符號衝到

建議改1.a+b+c/3>=abc^(1/3)
然後
2. a = x*t^(y-z) , b = y*t^(z-x) , c = z*t^(x-y)

以上純屬淺見

2011-11-06 00:07:18 補充：
證解→正解
不足１０個字的補字

不知，我猜10+10+10=30