二多項式f(x)與g(x)
若 f(a)>0 f(b)<0 則f(x)在(a,b)之間必至少有一實根
若 g(a)>0 g(b)<0 則g(x)在(a,b)之間必至少有一實根
試證 f(x) * g(x) 在(a,b)之間亦至少有一實根
要怎麼證明，或是說明亦可
有關高中勘根定理的疑問
2011-11-03 7:21 am
回答 (3)
2011-11-03 7:46 am
✔ 最佳答案
f(x)*g(x)=0, 則 f(x)=0 或 g(x)=0已知 f(x)=0 在(a, b)之間至少一實根, 設為c,
則 f(x)*g(x)=0 至少有一實根 x=c
2011-11-03 9:28 am
「多項式函數」為必為「連續函數」
2011-11-03 7:40 am
嚴謹的證明我是不知道怎麼寫啦~~
但是很明顯的，一個連續函數由正值到負值必定經過0，所以若f(a)>0，f(b)<0，在(a,b)間必有一個實根(函數值為0)
同樣的一個連續函數由負值到正值也必定經過0，因此同理可證得若g(a)<0，g(b)>0，在(a,b)間必有一個實根(函數值為0)
令h(x)=f(x)*g(x)，若有h(a)=f(a)*g(a)>0，h(b)=f(b)*g(b)<0，那麼同理(a,b)間必有一實根…
所以勘根定理必需用在「連續」函數，或說「片斷連續」(但要避開不連續點)才成立。
但是很明顯的，一個連續函數由正值到負值必定經過0，所以若f(a)>0，f(b)<0，在(a,b)間必有一個實根(函數值為0)
同樣的一個連續函數由負值到正值也必定經過0，因此同理可證得若g(a)<0，g(b)>0，在(a,b)間必有一個實根(函數值為0)
令h(x)=f(x)*g(x)，若有h(a)=f(a)*g(a)>0，h(b)=f(b)*g(b)<0，那麼同理(a,b)間必有一實根…
所以勘根定理必需用在「連續」函數，或說「片斷連續」(但要避開不連續點)才成立。
收錄日期: 2021-04-27 19:10:24
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https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20111102000016KK08996