求：數學問題詳解

由於在等式中，a、b、c、d有輪換性，故不妨設0≦a≦b≦c≦d，
如此則有：
1/a+1/b+1/c+1/d≦1/a+1/a+1/a+1/a=4/a
又由題意知1/a+1/b+1/c+1/d=1
所以有a≦4
(1)若a=4，則有1/b+1/c+1/d=1-1/4=3/4≦1/b+1/b+1/b=3/b，b≦4

由假設a=4≦b，故b=4，此時有
1/c+1/d=3/4-1/4=1/2≦1/c+1/c=2/c，c≦4

因假設b=4≦c，故有c=4，所以d=4，
得到一組解(4,4,4,4)

(2)若a=3，則有1/b+1/c+1/d=1-1/3=2/3≦1/b+1/b+1/b=3/b，
b≦9/2，因b為正整數，所以b≦4

又由假設a=3≦b，知b=3或b=4
(2-1)若b=3，則有1/c+1/d=2/3-1/3=1/3≦1/c+1/c=2/c，c≦6
由假設b=3≦c，知c=3、4、5、6之一
(2-1-1)若c=3，d無解
(2-1-2)若c=4，1/d=(1/3-1/4)，d=12，得到解(3,3,4,12)
(2-1-3)若c=5，1/d=(1/3-1/5)，d=15/2(非正整數，無解)
(2-1-4)若c=6，1/d=(1/3-1/6)，d=6，得到解(3,3,6,6)
(2-2) 若b=4，則有1/c+1/d=2/3-1/4=5/12 ≦1/c+1/c=2/c，
c≦24/5，因c為正整數，c≦4，
由假設b=4≦c，有c=4，此時1/d=5/12-1/4，d=6，
得到解(3,4,4,6)
(3)若a=2，則有1/b+1/c+1/d=1-1/2=1/2≦1/b+1/b+1/b=3/b，b≦6
又由假設a=2≦b，知b=2,3,4,5或6
(3-1)若b=2，則有1/c+1/d=1/2-1/2=0無解
(3-2)若b=3，則有1/c+1/d=1/2-1/3=1/6≦1/c+1/c=2/c，c≦12
由假設b=3≦c知c=3,4,5,6,7,8,9,10,11或12
又明顯此當c≦6時，由1/c+1/d=1/6知無解，
故c=7,8,9,10,11或12，
(3-2-1)當c=7，有1/d=1/6-1/7，d=42，得到解(2,3,7,42)
(3-2-2)當c=8，有1/d=1/6-1/8，d=24，得到解(2,3,8,24)
(3-2-3)當c=9，有1/d=1/6-1/9，d=18，得到解(2,3,9,18)
(3-2-4)當c=10，有1/d=1/6-1/10，d=15，得到解(2,3,10,15)
(3-2-5)當c=11，有1/d=1/6-1/11，d=66/5非正整數，無解
(3-2-6)當c=12，有1/d=1/6-1/12，d=12，得到解(2,3,12,12)
(3-3)若b=4，則有1/c+1/d=1/2-1/4=1/4≦1/c+1/c=2/c，c≦8 由假設b=4≦c，知c=4,5,6,7或8又由1/c+1/d=1/4知c=4無解， 故c=5,6,7或8 (3-3-1)當c=5，有1/d=1/4-1/5，d=20，得到解(2,4,5,20) (3-3-2)當c=6，有1/d=1/4-1/6，d=12，得到解(2,4,6,12) (3-3-3)當c=7，有1/d=1/4-1/7，d=28/3非正整數，無解 (3-3-4)當c=8，有1/d=1/4-1/8，d=8，得到解(2,4,8,8)(3-4)若b=5，則有1/c+1/d=1/2-1/5=3/10≦1/c+1/c=2/c, c≦20/3，因c為正整數，故c≦6，又由假設b≦c知c=5或6 (3-4-1)當c=5，有1/d=3/10-1/5，d=10，得到解(2,5,5,10) (3-4-2)當c=6，有1/d=3/10-1/6，d=15/2非正整數，無解(3-5)若b=6，有1/c+1/d=1/2-1/6=1/3≦1/c+1/c=2/c，c≦6，又假設b≦c，知c=6，此時有1/d=1/3-1/6，d=6，得到解(2,6,6,6)(4)若a=1，有1/b+1/c+1/d=1-1=0，明顯地此時無解

2011-10-31 20:37:33 補充：
由a、b、c、d的輪換性知：
(4,4,4,4)可得一組解
(3,3,4,12)可得4!/2!=12組解
(3,4,4,6)可得4!/2!=12組解
(2,3,7,42)可得4!=24組解
(2,3,8,24)可得4!=24組解
(2,3,9,18)可得4!=24組解
(2,3,10,15)可得4!=24組解
(2,3,12,12)可得4!/2!=12組解
(2,4,5,20)可得4!=24組解
(2,4,6,12)可得4!=24組解
(2,4,8,8)可得4!/2!=12組解
(2,5,5,10)可得4!/2!=12組解
(2,6,6,6)可得4!/3!=4組解

2011-10-31 20:38:33 補充：
所以如果考慮a、b、c、d的順序，可得1+12*5+24*6+4=209組解