數學雜題2題

1)假設它們當中沒有一個不小於 6 , 則四個數之和 < 4 x 6 = 24 ,但 (a+b+c)³ / abc + (b-c-a)³ / abc + (c-a-b)³ / abc + (a-b-c)³ / abc = 24 矛盾!故四個數中至少有一個不小於6。
2)x² + 615 = 2ʸ當 y 為奇數時 , 2ʸ 的個位數 = 2 或 8明顯 x² 為奇數 , 其個位數 = 1 , 5 或 9 ,故 x² + 615 個位數 = 6 , 0 , 或 4 , 矛盾!故 y 必為偶數。令 y = 2n x² + 615 = 2²ⁿ2²ⁿ - x² = 615(2ⁿ - x) (2ⁿ + x) = 3 x 5 x 41[ (2ⁿ - x) , (2ⁿ + x) ] = (1 , 615) , (3 , 205) , (5 , 123) 或 (15 , 41) 只有 5 + 123 = 128 符合 (2ⁿ - x) + (2ⁿ + x) = 2ⁿ⁺¹∴ n = 6 , 即 y = 12 , x = 59。

勝利~~~~~~~~~~~^^

1)





2) x2 + 615 = 2y

2y - x2 = 615

若 y 為雙數時:

22n - x2 = 615, n 為正整數.

(2n - x)(2n + x) = 615

615 = 3 x 5 x 41

所以有三個可能:

(i) 2n - x = 3 和 2n + x = 205
即 2n = 104 和 x = 101 (捨棄)

(ii) 2n - x = 15 和 2n + x = 41
即 2n = 28 和 x = 13 (捨棄)

(i) 2n - x = 5 和 2n + x = 123
即 2n = 64 和 x = 59 所以 n = 6

即 y = 12, x = 59

若 y 為雙數時:

22n+1 - x2 = 615, n 為正整數.

x2 = 22n+1 - 615

22n+1 - 615 為平方數

所以 22n+1 - 615 > 0 -> n >= 5

而且, 3082 - 3072 = 615, 所以當 22n+1 > 3082 時, 22n+1 - 615 不可能時平方數

22n+1 <= 3082 可得出 n <= 7

所以, 只需查證 211 - 615, 213 - 615 和 215 - 615 即可.

211 - 615 = 1433
213 - 615 = 7577
211 - 615 = 32153

三個皆不是平方數.

所以只有 x = 59, y = 12 為唯一可能性.

1)

圖片參考：http://i1191.photobucket.com/albums/z467/robert1973/Oct11/Crazyineq2.jpg


2) x2 + 615 = 2y

2y - x2 = 615

若 y 為雙數時:

22n - x2 = 615, n 為正整數.

(2n - x)(2n + x) = 615

615 = 3 x 5 x 41

所以有三個可能:

(i) 2n - x = 3 和 2n + x = 205
即 2n = 104 和 x = 101 (捨棄)

(ii) 2n - x = 15 和 2n + x = 41
即 2n = 28 和 x = 13 (捨棄)

(i) 2n - x = 5 和 2n + x = 123
即 2n = 64 和 x = 59 所以 n = 6

即 y = 12, x = 59

若 y 為雙數時:

22n+1 - x2 = 615, n 為正整數.

x2 = 22n+1 - 615

22n+1 - 615 為平方數

所以 22n+1 - 615 > 0 -> n >= 5

而且, 3082 - 3072 = 615, 所以當 22n+1 > 3082 時, 22n+1 - 615 不可能時平方數

22n+1 <= 3082 可得出 n <= 7

所以, 只需查證 211 - 615, 213 - 615 和 215 - 615 即可.

211 - 615 = 1433
213 - 615 = 7577
211 - 615 = 32153

三個皆不是平方數.

所以只有 x = 59, y = 12 為唯一可能性.


2011-10-31 11:49:39 補充：
(2) 第二個 case 是 "若 y 為單數時"