四題高一數學 二十點奉上

1.求方程式 x^2－( 1+3i )x + (－2+i) = 0 之解?
Sol
D=(1+3i)^2－4*1*(－2+i)
=1+6i－9+8－4i
=2i
=(1+i)^2
So
x=[(1+3i)+(1+i)]/2 or x=[(1+3i)－(1+i)]/2
x=1+2ior x=i

2. 1 + 2i + 3i^2 + 4i^3 + . . . + 100i^99 = ?
Sol
A=1 + 2i + 3i^2 + 4i^3 + . . . + 100i^99
Ai= i + 2i^2 + 3i^3 + . . . + 99i^99+100i^100
--------------------------------------------------------------
A(1－i)=(1+i+i^2+i^3+…+i^99)－100i^100
=0－100
A=-100/(1－i)=－100(1+i)/2=－50－50i

3. 設a為實數，且三個方程式
x^2－2ax+1=0、x^2－2ax+2a=0、4x^2－8ax+8a－3=0，均有虛根，
則a的範圍為?
Sol
D1=(－2a)^2－4<0
(a－1)(a+1)<0
－1<a<1-------------------------------(1)
D2=(－2a)^2－4*2a<0
a^2－2a<0
(a－2)a<0
0<a<2…………………………….(2)
D3=(－8a)^2－4*4*(8a－3)<0
4a^2－8a+3<0
(2a－3)(2a-1)<0
1/2<a<3/2………………………..(3)

　　　　　　　　　　　　　ｏ─────────ｏ
　　　　　　　　ｏ────────────────────ｏ
　　　ｏ──────────────ｏ
───＊────＊────＊────＊────＊─────＊──
　　－１　　　　０　　１／２　　　　１　　３／２　　　　　２
綜合(1)(2)(3) 1/2<a<1

4. 設 x^2－3x+1=0 的兩根為 a、b，則a^4+a^2b^2+ b^4= ?
Sol
a+b=3，ab=1
a^4+a^2b^2+b^4
=(a^2－ab+b^2)(a^2+ab+b^2)
=[(a+b)^2－3ab]*[(a+b)^2－ab]
=(9－3)*(9－1)
=48

1.x=a+bi(a+bi)^2-(1+3i)(a+bi)+(-2+i)=0自己展開實數部分係數為0.虛數部分係數也為02.(1-3)+(5-7)+-.......(+97-99)= - 50(2i-4i)+(6i-8i)+-.......(+98i-100i)=-50i3.三個方程式b^2-4ac 都<0解不等式就可4.a^4 + a^2b^2 + b^4=(a^2+b^2)^2-a^2b^2=[(a+b)^2-2ab]^2-(ab)^2=[3^2-1]^2-1^2=48