一題關於三角型的證明

2011-10-31 7:03 am

圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AF03256679/o/151110300953813871932670.jpg

這題有什麼好的解法嗎?
當然這可以硬來,就是用Lagrange's multiplier來強姦他
可是有沒有比較溫柔的方式??
曾經考慮過sin的凸函數性質,但沒有勇氣嘗試(還沒試過能不能做)
請各位數學先進幫個忙
更新1:

TMD標題打錯字= =

更新2:

CRebecca大的推導(推倒!?)比較溫柔 感謝提供解答XD

更新3:

睡醒後再選最佳XD

回答 (4)

2011-10-31 8:58 am
✔ 最佳答案
cos(B/2)cos(C/2)sin(A/2)
=(1/2)sin(A/2){ cos[(B+C)/2]+cos[(B-C)/2] }
=(1/2)sin(A/2){ sin(A/2)+cos[(B-C)/2] }
=(1/4){ 2sin²(A/2)+ 2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2] }
=(1/4)( 1-cosA+cosB+ cosC )
so,
cos(C/2)cos(B/2)sin(A/2)+cos(A/2)cos(C/2)sin(B/2)+cos(A/2)cos(B/2)sin(C/2)
=(1/4)( 3+cosA+cosB+cosC)
=(1/4){ 3+2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+ 1-2sin²(C/2) }
=(1/4){ 4+2sin(C/2) cos[(A-B)/2]- 2sin(C/2)cos[(A+B)/2] }
=(1/4){ 4+ 4sin(C/2)sin(A/2)sin(B/2) }
= 1+sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
<= 1+ { [sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]/ 3 }³ (By GP <= AP)
<= 1+ { sin[ (A+B+C)/6 ] }³ ( By Jensen's ineq. and sin"(x/2) <= 0 )
= 1+ 1/8 = 9/8
2011-10-31 7:26 am
Jensen inequality

艱深不等式
2011-10-31 7:18 am
TO:SAM
限制條件可用A+B+C=pi這個(A,B,C>0)來做
2011-10-31 7:16 am
太高段了吧= =竟然用拉格朗日乘數來解……
真好奇怎麼用拉格朗日乘數來解……


收錄日期: 2021-04-27 19:08:45
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20111030000015KK09538

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