數學機會率(probability)問題，難，高手請搶教!!

記 xn 為第 n 張牌的數。當5次數值和 = 19
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 19
共 (19-1)C(5-1) = 18C4 = 3060 組正整數解。在 3060 組正整數解中 , 須扣除那些含 xn > 12 的解 :當 x1 至 x5 其中一個為 13 , 例如 x5 = 13 ,
則 x1 + x2 + x3 + x4 = 19 - 13 = 6
共 (6-1)C(4-1) = 5C3 = 10 組正整數解。故其中一張牌為 13 的不適當情況共 5(5C3) = 50 種。
同理 ,
其中一張牌為 14 的不適當情況共 5(4C3) = 20 種。
其中一張牌為 15 的不適當情況共 5(3C3) = 5 種。所以 5 次數值和 = 19 的情況有 18C4 - 5(5C3 + 4C3 + 3C3) 種。

同理 ,
5 次數值和 = 18 的情況有 17C4 - 5(4C3 + 3C3) 種。
= 17 的情況有 16C4 - 5(3C3) 種。
= 16 的情況有 15C4 種。
= 15 的情況有 14C4 種。
................................
................................= 6 的情況有 5C4 種。
= 5 的情況有 4C4 種。
故得 5次數值和 < 20 的情況共4C4 + 5C4 + 6C4 + 7C4 + ... + 14C4 + 15C4 + 16C4 + 17C4 + 18C4
- 5(3C3 + 4C3 + 3C3 + 5C3 + 4C3 + 3C3)
= 4C4 + 5C4 + 6C4 + 7C4 + ... + 14C4 + 15C4 + 16C4 + 17C4 + 18C4
- 5(1 + 4 + 1 + 10 + 4 + 1)
= 4C4 + 5C4 + 6C4 + 7C4 + ... + 14C4 + 15C4 + 16C4 + 17C4 + 18C4 - 105
= 5C5 + 5C4 + 6C4 + 7C4 + ... + 14C4 + 15C4 + 16C4 + 17C4 + 18C4 - 105
反覆利用公式 nCm + nC(m-1) = (n+1)Cm , 這裡 m = 5 := 6C5 + 6C4 + 7C4 + ... + 14C4 + 15C4 + 16C4 + 17C4 + 18C4 - 105
= 7C5 + 7C4 + ... + 14C4 + 15C4 + 16C4 + 17C4 + 18C4 - 105 = .........
= 18C5 + 18C4 - 105= 19C5 - 105= 11523 種。
P( 5次數值和 ≥ 20)= 1 - P( 5次數值和 ≤ 19)= 1 - 11523 / 12⁵= 79103 / 82944≈ 95.37%