建中數理資優班試題求解20點

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06947407/o/151110220217613871888170.jpg





如圖，因為△ABD: △BCD(面積比)=AD:CD=2:11/2*AB*BD*sin∠ABD：1/2*BC*BD*sin∠CBD=sin∠ABD:sin∠CBD=2:1sin∠ABD:sin∠BAE=2:1 由正弦公式可得：AE:BE=sin∠ABD:sin∠BAE=2:1，所以AE=2BE 取AE的中點F，則有AF=FE=BE因為AF=BE，∠BAE=∠EBC，AB=BC，故△ABF(全等於) △BCE故∠FBA=∠ECB。 所以∠CED=∠EBC+∠ECB=∠BAE+∠FBA=∠BFE 因為EF=BE，所以∠BFE=∠FBE=1/2∠AED 故∠CED=∠BFE=1/2∠AED=1/2(∠ABE+∠BAE)=1/2(∠ABE+∠EBC)=1/2∠ABC得證。


2011-10-22 18:09:12 補充：
我想到了= =
原來還有不用正弦更直觀的方法。
但證法順序要調整一下。

先作AF=BE，可得到△ABF(全等於) △BCE
然後有AF:AE=△AFB:△ABE=△BEC:△ABE=1:2
所以有AF=EF，又AF=BE(因△ABF(全等於) △BCE)
所以EF=BE~~

接下來證法同上，可得證

2011-10-22 18:11:22 補充：
AF:AE=△AFB:△ABE=△BEC:△ABE=1:2(這邊的△都是指面積比)
說更詳細一點，因為△AED:△CED=2:1，△ABD:△BCD=2:1
所以有△BEC:△ABE=(△ABD-△AED):(△BCD-△CED)=2:1

線段 BF 切的很漂亮

讚!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~