看起來很難的數學題目

如圖：

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06947407/o/151110130445913871844980.jpg

Ⅰ、
1、連接BG。
2、因為∠GAB=90度-∠BAE=∠EAD，且AG=AE，AB=AD，
故△BGA(全等於)△EAD
所以BG=DE
Ⅱ、
1、因為∠AHG=∠BHC，∠AGH=∠CBH=90度，
所以△AGH(相似於)△CBH
所以∠GAH=∠BCH
2、因為∠GAH=∠BCH，所以A、G、B、C四點共圓，
故有∠FCA=∠GBA
Ⅲ、
1、連接AF、AC
2、因為∠FAC=45度-∠HAF=∠GAB，且∠FCA=∠GBA(Ⅱ之結論)，所以有△AFC(相似於)△AGB

故有DE:CF=BG:CF=AB:AC=1:√2

2011-10-13 20:47:12 補充：
若A、B、C、D為圓內接四邊形，則有：
(1)對角互補
(2)圓周角相等

並且它們的逆定理也成立，我用到的就是第二個性質。

上面的證明是顯然成立的，如果以此題的A、G、B、C來看，

有∠GAC+∠GBC=(1/2)(弧GBC+弧GCA)=(1/2圓周弧度)=180度
同理對另一組對角也成立，所以(1)成立

另外因為∠GAH=∠BCH=1/2*(弧GB)，圓周角對等弧，
所以(2)成立

2011-10-13 21:00:32 補充：
(2)之逆定理為：
若在四邊形AGBC中，有∠GAB=∠BCG，則A、G、B、C共圓。(參考此題之AGBC)

這個證明方法就要用反證法了：
1、假設有∠GAB=∠BCG，並且有A、G、B、C不共圓
2、因為三點共圓，所以必有G、B、C共圓，並且A不在此圓上。
3、若A在此圓外，連接AB、AG，設AB交圓GBC於A'，那麼有∠GA'B=∠BCG(圓周角相等)。
4、但A在圓外，故有∠GA'B=∠GAB+∠AGA'>∠GAB
由題目知道∠GAB=∠BCG，故有∠GA'B>∠GAB=∠BCG(與3矛盾)

故假設錯誤，A、G、B、C共圓

(1)之逆定理證法也類似~~

2011-10-13 21:06:48 補充：
(2)之逆定理為：
若在四邊形AGBC中，有∠GAB=∠BCG，則A、G、B、C共圓。

這個證明就要用反證法了：
1、假設∠GAB=∠BCG，但A、G、B、C不共圓。
2、因為三點共圓，必有G、B、C共圓，且A不在圓GBC上。
3、若A在圓GBC外，連接AB、AG，設AB交圓GBC於A'，則有∠GA'B=∠BCG
4、又A在圓GBC外，有∠GA'B=∠GAB+∠AGA'>∠GAB=∠BCG(由題目知∠GAB=∠BCG)，與3之∠GA'B=∠BCG矛盾
5、故假設錯誤，A、G、B、C共圓。

A在圓內的證法也相似，另外(1)之逆定理的證法也相似，都是用反證法。

2011-10-13 21:13:52 補充：
遺漏了一點……第4點後要先證明A在圓內的情形也成立，才有第5點的A、G、B、C共圓的結果成立。

2011-10-13 21:22:07 補充：
真奇怪，補充了(2)逆定理的證明，再重新進來好像都不見了，不知道大家有沒看到= =
我等下再寫一次在意見好了

2011-10-13 21:26:16 補充：
(2)之逆定理：

若四邊形AGBC中，有∠GAB=∠BCG，則有A、G、B、C共圓。

用反證法：
1、假設∠GAB=∠BCG，但A、G、B、C不共圓
2、因為三點共圓，必有GBC共圓，且A不在圓GBC上
3、若A在圓外，連接AB、AG，設AB交圓GBC於A'上，則有∠GA'B=∠BCG(圓周角相等性質)
4、因A在圓外，有∠GA'B=∠GAB+∠AGA'>∠GAB=∠BCG(由題目∠GAB=∠BCG)，與3之∠GA'B=∠BCG矛盾

2011-10-13 21:27:16 補充：
A在圓內的情形與A在圓外類似，會導致矛盾，
故假設錯誤，A、G、B、C共圓。

(1)之逆定理的證法也類似

2011-10-13 21:31:24 補充：
sam ，不好意思，你的意思是四邊形AGBC，所以∠GAC+∠GBC=180 ∠BGA+∠BCA=180 可是他們為什麼會互補?

Fffff Gohjow，抱歉不大明白你的意思。所謂兩角互補就是兩角相加是180度。

又圓心角等於所對的弧度，所以有圓周角=1/2*圓心角=1/2*(對應弧度)。

因此由圓的性質，明顯有∠GAC+∠GBC=(1/2)(弧GBC+弧GCA)=1/2*(整個圓周的弧度)=1/2*360度=180度

2011-10-13 21:38:02 補充：
哈~~回頭看才發現解答第二點寫錯了，故△BGA(全等於)△EAD
應該是故△BGA(全等於)△DEA= =
三角形編號的順序不能弄錯……

發問者解得不錯唷!~

連接對角線AC和AF
AD:AC=1:(根號2)=AE:AF
角DAE=45度-角EAC=角CAF
所以三角形ADE和三角形ACF相似
故
DE:CF=1:(根號2)

兩步驟：1)EFCE’為長方形 2)EDE’為等腰直角三角形
http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=3779&prev=-1&next=3778

yee神解!
但一個錯誤 b與f不能重合
但若將AE趨近於0就能得解!

考試中這樣算就對了!

很酷的題目我給你提示
剩下你自己算△AGH與△CBH相似
又AH+HB=BC
又正方形4個邊都相等用畢式定理~你可以算出全部

2011-10-13 17:54:43 補充：
Yee大大

GFC在同一條直線上
B與F沒有辦法重合唷

2011-10-13 18:02:03 補充：
設BH=1 BC=K
GH=Y,AG=KY

(GH^2+GA^2)開根號,再加上BH 會等於AB

便可算出K跟Y之間的比例

應該不用我再解了吧?

2011-10-13 20:45:53 補充：
Y^2(K+1)=(K-1)^2 ???
你怎麼算出這個答案的??
計算也太差了吧?

你算出正確的比之後
多畫幾個直角三角形
一定能解出來的
==============================

話說:Sam大的解法太酷了
不過我也不知為什麼他們一定共圓
能教一下小弟嗎?

2011-10-14 09:01:57 補充：
嗯..看了這麼多優秀的解答
我詳述一下我之前簡略的回答.以表敬意

Fffff Gohjow大..你如果沒有計算錯誤
應該是算出y=(k-1)/(k+1)

觀察題目後可得知..y.k可以是變數

取k=1..可以瞬間求出DE:CF

EG劃條線,CGD看起來像等腰三角形,AED看起來像等腰三角形
GE=√2
GF=1
DE=AE=1
GD=GC=1+√2
CF=GC-GF=√2
DE : CF=1 : √2

GFC三點是在同一直線上嗎?

既然題目這樣問，
那表示不管圖形如何改變，
所求都是定值。
如果是填充題，
不用計算過程，
找一個最好的圖形來求解。
例如將B與F重合，
或AE長度趨近於0。
可以輕易得到1:√2

2011-10-13 17:33:05 補充：
在幾何上，
當某些因素改變時，
有些東西是固定不變的。
例如三角形的內角和不會改變。
即使不給你更多關於三角形的資訊，
仍可求解。

我也很好奇連1個數字都沒有怎麼解= =