✔ 最佳答案
如圖：
圖片參考：
http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06947407/o/151110130445913871844980.jpg
Ⅰ、
1、連接BG。
2、因為∠GAB=90度-∠BAE=∠EAD，且AG=AE，AB=AD，
故△BGA(全等於)△EAD
所以BG=DE
Ⅱ、
1、因為∠AHG=∠BHC，∠AGH=∠CBH=90度，
所以△AGH(相似於)△CBH
所以∠GAH=∠BCH
2、因為∠GAH=∠BCH，所以A、G、B、C四點共圓，
故有∠FCA=∠GBA
Ⅲ、
1、連接AF、AC
2、因為∠FAC=45度-∠HAF=∠GAB，且∠FCA=∠GBA(Ⅱ之結論)，所以有△AFC(相似於)△AGB
故有DE:CF=BG:CF=AB:AC=1:√2
2011-10-13 20:47:12 補充：
若A、B、C、D為圓內接四邊形，則有：
(1)對角互補
(2)圓周角相等
並且它們的逆定理也成立，我用到的就是第二個性質。
上面的證明是顯然成立的，如果以此題的A、G、B、C來看，
有∠GAC+∠GBC=(1/2)(弧GBC+弧GCA)=(1/2圓周弧度)=180度
同理對另一組對角也成立，所以(1)成立
另外因為∠GAH=∠BCH=1/2*(弧GB)，圓周角對等弧，
所以(2)成立
2011-10-13 21:00:32 補充：
(2)之逆定理為：
若在四邊形AGBC中，有∠GAB=∠BCG，則A、G、B、C共圓。(參考此題之AGBC)
這個證明方法就要用反證法了：
1、假設有∠GAB=∠BCG，並且有A、G、B、C不共圓
2、因為三點共圓，所以必有G、B、C共圓，並且A不在此圓上。
3、若A在此圓外，連接AB、AG，設AB交圓GBC於A'，那麼有∠GA'B=∠BCG(圓周角相等)。
4、但A在圓外，故有∠GA'B=∠GAB+∠AGA'>∠GAB
由題目知道∠GAB=∠BCG，故有∠GA'B>∠GAB=∠BCG(與3矛盾)
故假設錯誤，A、G、B、C共圓
(1)之逆定理證法也類似~~
2011-10-13 21:06:48 補充：
(2)之逆定理為：
若在四邊形AGBC中，有∠GAB=∠BCG，則A、G、B、C共圓。
這個證明就要用反證法了：
1、假設∠GAB=∠BCG，但A、G、B、C不共圓。
2、因為三點共圓，必有G、B、C共圓，且A不在圓GBC上。
3、若A在圓GBC外，連接AB、AG，設AB交圓GBC於A'，則有∠GA'B=∠BCG
4、又A在圓GBC外，有∠GA'B=∠GAB+∠AGA'>∠GAB=∠BCG(由題目知∠GAB=∠BCG)，與3之∠GA'B=∠BCG矛盾
5、故假設錯誤，A、G、B、C共圓。
A在圓內的證法也相似，另外(1)之逆定理的證法也相似，都是用反證法。
2011-10-13 21:13:52 補充：
遺漏了一點……第4點後要先證明A在圓內的情形也成立，才有第5點的A、G、B、C共圓的結果成立。
2011-10-13 21:22:07 補充：
真奇怪，補充了(2)逆定理的證明，再重新進來好像都不見了，不知道大家有沒看到= =
我等下再寫一次在意見好了
2011-10-13 21:26:16 補充：
(2)之逆定理：
若四邊形AGBC中，有∠GAB=∠BCG，則有A、G、B、C共圓。
用反證法：
1、假設∠GAB=∠BCG，但A、G、B、C不共圓
2、因為三點共圓，必有GBC共圓，且A不在圓GBC上
3、若A在圓外，連接AB、AG，設AB交圓GBC於A'上，則有∠GA'B=∠BCG(圓周角相等性質)
4、因A在圓外，有∠GA'B=∠GAB+∠AGA'>∠GAB=∠BCG(由題目∠GAB=∠BCG)，與3之∠GA'B=∠BCG矛盾
2011-10-13 21:27:16 補充：
A在圓內的情形與A在圓外類似，會導致矛盾，
故假設錯誤，A、G、B、C共圓。
(1)之逆定理的證法也類似
2011-10-13 21:31:24 補充：
sam ，不好意思，你的意思是四邊形AGBC，所以∠GAC+∠GBC=180 ∠BGA+∠BCA=180 可是他們為什麼會互補?
Fffff Gohjow，抱歉不大明白你的意思。所謂兩角互補就是兩角相加是180度。
又圓心角等於所對的弧度，所以有圓周角=1/2*圓心角=1/2*(對應弧度)。
因此由圓的性質，明顯有∠GAC+∠GBC=(1/2)(弧GBC+弧GCA)=1/2*(整個圓周的弧度)=1/2*360度=180度
2011-10-13 21:38:02 補充：
哈~~回頭看才發現解答第二點寫錯了，故△BGA(全等於)△EAD
應該是故△BGA(全等於)△DEA= =
三角形編號的順序不能弄錯……
