問4題工程數學的二階微分方程~~

1.令y=e^(λx)，y’=λ*e^(λx)，y’’=(λ^2)*e^(λx)代回原式，
得特性方程式λ^2-λ=λ(λ-1)=0→λ=0 orλ=1
故y=c1*e^0+c2*e^1=c1+c2*e^x
此題不是答案有錯，就是題目有誤

2.令z=y'=dy/dx，則y''=dy'/dx=dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)=z(dz/dy)
故原式可改寫成：
yz(dz/dy)=3z^2
(1/z)dz=(3/y)dy
lnz=3lny
z=k*y^3
dy/dx=k*y^3
dy/(y^3)=kdx
-1/y^2=kx+l
1/y^2=c1x+c2(c1=-k, c2=-l)
y=(c1x+c2)^(-1/2)

3.同2，令z=y'，則原式改寫成
y(z*dz/dy)+z^3*cosy=0
dz/dy=-z^2*cosy
dz/(z^2)=-cosydy
-1/z=-siny+c1
1/z=siny+c1
dx/dy=siny+c1
dx=(siny+c1)dy
x=-cosy+c1y+c2 4.4(x^2)y’’-3y=0(x^2)y’’-(3/4)y=0，此為標準之Euler-Cauchy方程式，令y=x^m，y’=m*x^(m-1)，y’’=m(m-1)*x^(m-2)代回原式m^2-m-3/4=0，4m^2-4m-3=(2m-3)(2m+1)=0，m=3/2 or m=-1/2故y=c1*x^(3/2)+c2*x^(-1/2)y’=(3/2)*c1*x^(1/2)-(1/2)*c2*x^(-3/2)將條件y(1)=-3，y’(1)=0代入得：c1+c2=-3(3/2)*c1-(1/2)*c2=0解聯立方程式得c1=-0.75，c2=-2.25y=-0.75x^(3/2)-2.25x^(-1/2)

回sum:第1題我算出來的答案也是跟你一樣，我對過了題目和答案我都沒打錯，我下個星期再去問老師這題好了。
[[ans]]其實不必問老師，將答案代回元方程式就知道，:y=e^x+c1x+c2 不對。
.(***)要知道微方的答案對不對，只要代回元方程式就知道，這是微方之基本常識。
不過不保證是全解(除非是特別類型)。尤其是非線性方程式。