高中數學~第一冊

1.(2x^3+x^2+1)^3除以2x^3+x^2+3的餘式為何?
Sol
(2x^3+x^2+1)^3
=>2x^3+x^2+3)－2]^3
=>(－2)^3
=>－8

2.設f(x)與g(x)為實係數多項式，以x^2－3x+2除f(x)得餘式3x－4，以x－1
除g(x)得餘式5，試求x－1除f(x)+g(x)的餘式?
Sol
f(x)=p(x)(x^2－3x+2)+3x－4
g(x)=q(x)(x－1)+5
f(1)+g(1)=(3*1－4)+5=4

3.設二次函數y=x^2+mx－1的圖型恆在直線y=x－5的上方，則實數m的範圍
為何?
Sol
(x^2+mx－1)－(x－5)>=0
x^2+(m－1)x+4>=0
D<=0
(m-1)^2－16<=0
－4<=m－1<=4
－3<=m<=5

4.m,n,s,t皆為整數，若x+t為x^2+mx-6與x^3+nx^2+sx+3的公因式，則t值
可能為何?
Sol
x+t為x^3+nx^2+sx+3的因式
t=1 or －1 or 3 or －3
(1) t=1
1+m－6=0，1+n+s+3=0
(2) t=－1
1－m－6=0，－1+n－s+3=0
(3) t=3
9－3m－6=0，27+9n+3s+3=0
(4) t=－3
9－3m－6=0，－27+9n－3s+3=0
So
t=1 or －1 or 3 or －3

5.若p,q為實數，且f(x)=x^3+px+3q，g(x)=x^3－qx－3p，若f(x)與g(x)的
最高公因式為一次式，則p－q為何?
Sol
f(x)－g(x)
=(x^3+px+3q)－(x^3－qx－3p)
=(p+q)x+3(p+q)
=(p+q)(x+3)
(1) p+q=0
f(x)=g(x) (不合)
(2) p+q<>0
最高公因式=x+3
f(－3)=－27－3p+3q=0，g(－3)=－27+3q－3p=0
p－q=9

6.方程式1/(x+1)+2/(x+2)+3/(x+3)=1的實根個數共有幾個
Sol
1/(x+1)+2/(x+2)+3/(x+3)=1
(x+2)(x+3)+2(x+1)(x+3)+3(x+1)(x+2)=(x+1)(x+2)(x+3)
(x^2+5x+6)+2(x^2+4x+3)+3(x^2+3x+2)=(x^2+3x+2)(x+3)
6x^2+22x+18=x^3+6x^2+11x+6
x^3－11x－12=0
f(x)=x^3－11x－12
f(－3)=－27+33－12=－6<0
f(－2)=－8+22－12=2>0
f(0)=－12<0
f(－3)*f(－2)=－12<0
－3 和 －2之間至少有一根
f(－2)*f(0)=－24<0
－2 和 0之間至少有一根
So
實根個數共有3個

為甚麼第三題
可以直接(x^2+mx－1)－(x－5)>0

3.設二次函數y=x^2+mx-1的圖型恆在直線y=x-5的上方，則實數x的範圍為何?

f(x)=x^2+mx-1 , g(x)=x-5 , 不管x=多少，f(x)-g(x) > 0
所以如果有一個含數 h(x) = f(x)-g(x) > 0

所以 h(x) 跟 x軸 無交交點 判別式恆小於零。