證明sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+...

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希望對你有幫助...

令f(x)=sinx
f(x)=f(a)+∫(a~x)f'(t)dt=f(a)+(x-a)f'(a)+∫(a~x)(x-t)f"(t)dt=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2f"(a)/2!+1/2!(∫(a~x)(x-t)^2f"'(t)dt)=...=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2f"(a)/2!+...+(x-a)^nf(n)(a)/n!+Rn(x)
Rn=(1/n!)∫(a~x)f(n+1)(t)(x-t)^ndt...
a代0得f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)x^2/2!+...+f(n)(0)x^n/n!+(1/n!)∫(0~x)f(n+1)(t)(x-t)^ndt
根據均值定理可得Lagrange Furmula:R(n)=f(n+1)(c)x^(n+1)/(n+1)!
那我們必須證明當n→∞，Rn(x)收斂到0
sinx不管微分幾次都小於等於1
因此|R(n)(x)|≦|x|^(n+1)/(n+1)!
很明顯的，右邊會收斂至0
所以sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+.....