數學知識交流---正五邊形的問題 (4)

假設所有線段是直線。

證明 ABCD 共圓。
考慮 ΔABC 及 ΔBCD。
AB = CD (正五邊形五邊相等)
BC = BC (公共邊)
∠ABC = ∠BCD = 108º (正五邊形五角相等)
∴ ΔABC ≅ ΔBCD (SAS)
∴ ∠BAC = ∠BDC (全等Δ對應角)
∴ ABCD 共圓。(同弓形內的圓周角的逆定理)

證明 ABCDE 共圓。
考慮 ΔABE 及 ΔABC。
AE = BC (正五邊形五邊相等)
AB = AB (公共邊)
∠BAE = ∠ABC (正五邊形五角相等)
∴ ΔABE ≅ ΔABC (SAS)
∴ ∠AEB = ∠ACB (全等Δ對應角)
∴ ABCE 共圓 (同弓形內的圓周角的逆定理)
∴ ∠BAC = ∠BEC (同弓形內的圓周角)
∠BAC = ∠BDC (已證)
∴ ∠BAC = ∠BEC = ∠BDC
∴ ABCDE 共圓。(同弓形內的圓周角的逆定理)

ABCDE 共圓 (已證)
∴ ∠EAD = ∠DAC = ∠CAB (正五邊形五邊相等，等弦對等(圓周)角)
正 n 邊形的每個內角為 180º(n - 2)/n
∴ ∠EAB = 180º(5 - 2)/5 = 108º
∴ ∠EAD = ∠DAC = ∠CAB = 36º

(1)
求 ΔABI 的面積。
∠EBA = ∠CAB (ABCDE 共圓，等弦對等(圓周)角)
∴ ΔABI 是等腰Δ (底角相等)
由 I 設一垂直線 IF 至 AB，F 為 AB 的一點。
IF = tan(36º) * 5/2 = 1.82 (小數點後兩位)
ΔABI 的面積是：5 * 1.82/2 = 4.55

(2)
求 ∠ABC。
正 n 邊形的每個內角為 180º(n - 2)/n
∴ ∠ABC = 180º(5 - 2)/5 = 108º

(3)
求 ΔABJ 的面積。
考慮 ΔAJE 及 ΔABI。
∠EAD = ∠CAB (已證)
AE = AB (正五邊形五邊相等)
∴ ΔABE 是等腰Δ (等腰Δ性質)
∴ ∠AEB = ∠ABE (等腰Δ性質)
∴ ΔAJE ≅ ΔABI (ASA)
∴ ΔAJE 及 ΔABI 面積相等
ΔABE 是等腰Δ (已證)
由 A 設一垂直線 AG 至 BE，G 為 BE 的一點。
∠EBA = ∠CAB = 36º (∠EBA = ∠CAB，∠CAB = 36º)
ΔABE 的面積是：5cos(36º) * 2 * 5sin(36º)/2 = 12.00 (小數點後兩位)
ΔABI 的面積 = ΔAJE 的面積 = 4.55
ΔABJ 的面積是：12 - 4.55 * 2 + 4.55 = 7.45

(4)
求 ΔABC 的面積。
ΔABE ≅ ΔABC (已證)
∴ ΔABE 及 ΔABC 面積相等。
ΔABC 的面積 = ΔABE 的面積 = 12.00 (小數點後兩位)