高手請進!!<數學邏輯題>

1.
已知：3門選最左邊門後，主持人開最右邊的門裡面是羊

最右門是羊的可能情形(由左至右)：
(金，羊，羊)，(羊，金，羊)

(金，羊，羊)開最右門的機率是1/2　　　→選了左，主持人可開中或右
(羊，金，羊)開最右門的機率是1　　　　→選了左，主持人只能開右

因此，
在開最右門是羊的條件下，換了會中獎的機率
= 換了會中獎的機率 / 開最右門是羊的機率
= (羊，金，羊)開最右門的機率 / 開最右門的機率
= 1 / [(1/2) + 1]
= 2/3


2.
已知：4門選最左邊門後，主持人開最右邊的門裡面是羊

最右門是羊的可能情形(由左至右)：
(金，羊，羊，羊)，(羊，金，羊，羊)，(羊，羊，金，羊)

(金，羊，羊，羊)開最右門的機率是1/3，換了中獎的機率是0
(羊，金，羊，羊)開最右門的機率是1/2，換了中獎的機率是1/2
(羊，羊，金，羊)開最右門的機率是1/2，換了中獎的機率是1/2

因此，
在開最右門是羊的條件下，換了會中獎的機率
= 換了會中獎的機率 / 開最右門是羊的機率
= [(1/3)*0 + (1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2)] / [(1/3) + (1/2) + (1/2)]
= (1/2) / (4/3)
= 3/8

2011-10-09 03:01:27 補充：
在(羊，金，羊)的情形下
你選的是最左邊的羊
這時主持人 "必" 開最右邊的門(他總不能開中間的門，給你看100萬現金吧!?)
∴機率是1沒錯

這題的問題在於，(金，羊，羊)的情形下主持人是有選擇的，他可開右、也可開中，只有1/2的機率會開右邊的門
而這正是導致反直覺的原因所在

實際上如果要用條件機率的公式(貝氏定理)來寫
應該是這樣的：
P=[(1/3)*1] / [(1/3)*(1/2) + (1/3)*1] = 2/3

2011-10-09 09:26:24 補充：
heaven
樹狀圖並不能解決問題，因為每個末稍的情形，機會並不均等
而機會均等是古典機率成立的大前提

舉例來說，明天只有下雨和不下雨兩種情形，樹狀圖怎麼畫也只有兩種
那麼明天下雨機率會是1/2 ?

2011-10-10 09:42:07 補充：
題目並未說明主考官必開右門，雖然因為這個問題還蠻有名的，不過應該要說一下比較好，免得誤會。

穩藏題意：
1. 主考官知道每道門後是什麼。
2. 主考官會從剩下的門中，隨機選個門後是羊的開。

發問者不是說主考官「必開右門」，說的是「已經開右門」。

所以heaven第一個圖是比較符合發問者意思的，第二圖就不合了。

2011-10-11 08:01:14 補充：
實際上，所有機率都是條件機率，根據條件不同，機率會隨之改變。
在什麼都不知道的條件下，換了中獎的機率=不換中獎的機率=1/2(無法誰更好)
在知道主考官已經開右門的條件下，換了中獎的機率會跟著改變

2011-10-11 08:01:52 補充：
(金，羊，羊)選左的條件下，主考官2次只有1次會開右
(羊，金，羊)選左的條件下，主考官必開右
(羊，羊，金)選左的條件下，主考官必開中

(金，羊，羊)、(羊，金，羊)、(羊，羊，金)的機會是均等的，假設各發生2次
在這2+2+2次中，主考官開右的次數是1+2+0=3次，只有這3次是符合題意的

這3次中，換了會中獎的只有2次，所以中獎機率=2/3

2011-10-17 13:02:29 補充：
不是吵架，我是在教他Monty Hall problem(三門問題)，但他堅信自己是對的，而不相信這已有公論的答案。

參考資料：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C

題目已經說了

"現在參賽者選擇最左邊的一個門
主考官把最右邊的門打開"

難道主考官還有可能開中間的門??

==================================

"小明今天早上6點起床
沒有吃早餐"

難道小明還有可能吃早餐嗎?

狗狗大太客氣了
本來就是互相討論..然後會越來越強呀

關於這一題..我新做了兩張圖放在我相簿
歡迎參觀


http://www.wretch.cc/album/show.php?i=sprewell0033&b=3&f=1648883698&p=0

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=sprewell0033&b=3&f=1648883699&p=1

之所以一直在這題打轉..可能是我個性比較偏執吧
哈哈

如果改成100道門。
其中有一道是100萬。

今天觀眾選了一道門，主持人也知道觀眾選了哪道門。

接著主持人避開觀眾選的門以及獎品的門（也可能觀眾選的門就是獎品的門），打開９８道沒有獎品的門。

接著問要不要換。

如果一開始觀眾選的是中獎的門，那麼他換，就不會中獎。
如果一開始觀眾選得是沒中獎的門，那麼此時他換，就會中獎。

我只會第一題

假設100萬是放在中間的門



而你選左邊的話 中獎機率是1/3
而'不中獎機率是'2/3 也就是說其他門的中獎機率是2/3
而主持人會把2/3那兩扇門的其中一扇打開 所以2/3會聚集到你沒選的那一扇門


因此 換的機率高

(1) 三個門 A, B, C
P(A) = 1/3
C 是羊的機率是 2/3
那在 C 是羊的機率下, B 是 100 萬的機率是 (條件機率)
P(B) = 1/3 除以 2/3 = 1/2
1/2 > 1/3
所以 A 要換成 B , 因 B 的機率高

(2) 四個門 A, B, C, D
P(A) = 1/4
D 是羊的機率是 3/4
那在 D 是羊的機率下, B or C 是 100 萬的機率是 (條件機率)
P(B) = P(C) = 1/4 除以 3/4 = 1/3
1/3 > 1/4
所以 A 要換成 B or C , 因 B, C 的機率高

n 個門, 你選了一個門.
主持人開了 k 個沒有獎的門.

假設主持人是故意開沒獎的門...

不換, 則中獎機率 1/n.

換, 則中獎機率是 (n-1)/[n(n-k-1)] = (1/n)[(n-1)/(n-k-1)] > 1/n.

這類題目在YAHOO已多次出現，最後被採用的答案常常違反邏輯與機率法則，把單純的題目複雜化。

設有門a,b,c。你選a門，中的機會有三分一，有三分之二機會現金在另兩道門。若在三分二中再選一門，中的機會為二分一。現在主持在另兩道門選一道空門，即「三分二中的二分一」已變成三分二。因此不換中的機會為三分一，換則為三分二，因此要換！再設有門a,b,c,d。你選a門，中的機會有四分一，有四分之三機會現金在另兩道門。若在四分三中再選一門，中的機會為三分一。現在主持在另三道門選一道空門，即「四分三中的三分一」已變「四分三中的三分二」。因不換中的機會為四分一，換則為四分三乘三分二即二分一，因此要換。

2011-10-08 13:21:32 補充：
其實這問題在幾十年前美國'Let's Make a Deal'節目已出現過,大家可上網查一下.

2011-10-08 15:44:08 補充：
To Ray:

你能提示一下我差甚麼嗎？

首先 3個門 1個門已經打開 是羊 剩2個門 其中一個是錢 當然機率是1/2
4個門 1個門已經打開 是羊 剩3個門 其中一個是錢 當然機率是1/3
問幾個門 若題形沒改 那答案便是1/(幾個門-1)
注意 如果沒作弊 你開哪個門機率都一樣
開最左 最右 其實沒有差
開了一個 沒開的門數就是所有門數-1
其中一個有 那開道其中那一個有東西的便是1/沒開的門數