幫解數學證明題

[證明收斂]
(1) 首先, 若 0<a_n≦4 則 0<a_{n+1}≦4.
又 0< a_1=1 ≦ 4.
因此, {a_n} 有界, 且 4 為其上界.
(2) 其次, 我們考慮 {a_n} 是否可能有 a_{n+1}<a_n 的情形.
a_{n+1}<a_n if and only if 2√a_n < a_n if and only if a_n>4.
但 (1) 已證 a_n≦4 for all n=1,2,...
故知 a_{n+1}≧a_n, for all n=1,2,...
由 (1), (2) 知 {a_n} 為 increasing and bounded above, 因此 lim a_n 存在.
[求極限]
由於 lim a_n 存在, 故
lim a_n = lim a_{n+1} = 2√(lim a_n)
令 A = lim a_n, 則得 A=2√A, 故 A=0 或 4.
但已知 a_n↑, 且 a_1=1, 故 A=4, 即 lim a_n = 4.

能不能先證明a_{n+1} > a_n?
[[ANS]]
Yes. By induction, a_{n+1} - a_n=2((a_n)^0.5 -(a_n-1)^0.5 >0.