x^3+x-99=0

4.
其實可以直接畫圖來看，
f(x)=x^n在x>0時為一恆不折返的上升曲線，
若f(x)=a>0，則x必只有一正實根解。

證明：

令f(x)=x^n，n為正整數，

f '(x)=n*x^(n-1)，
若x>0，則f '(x)>0；

證明實根存在：
f(x)=x^n=a，
則必有一實根x=a^(1/n)；

檢查是否有可能存在不只一個實根：

假設f(b)=a，
若存在另一實根c使得f(c)=a，
則必存在一d在c與b之間，
使得f'(d)*(b-c)=f(b)-f(c)=0，(此稱為中間值定理)；

但x>0時f '(x)>0，
故f'(d)*(b-c)=f(b)-f(c)=a-a=0中(b-c)須等於零，
故c=b，得正只有一實根，
且此實根為a^(1/n)。


5.
令f(x)=x^3+x-99
f(4)=64+4-99<0
f(5)=125+5-99>0
故必存在實根c，4<c<5，使得f(c)=0；

一樣再檢查是否有可能存在不只一個實根：
f(x)=x^3+x-99，
f'(x)=3x^2+1>0，
沿襲4.中的方法，
可知只有唯一實根。


有問題再問吧=ˇ=，希望對你有幫助。

2011-10-06 17:59:55 補充：
= =高一嗎

...
你們老師接受畫圖解嗎?

我以前接受的多為圖畫教學。

高一數學用微積分比較不合適吧

5.
以國中數學解之：
令f(x)=x^3+x-99=x^2(x+1)-99
因為x^2>=0，故知當x<=-1時，有f(x)<=-99；當x>=-1時，有f(x)>=-99
故若有實根必在x>=-1之處。

若-1<1時，有-1<1，即-100<-98，在此範圍必無實根。

又若y>x>1，則有y^2(y+1)>x^2(x+1)，即有f(y)>f(x)。故當x>1時，f(x)為漸增函數，故必僅有一實根在x>=-1處(請確認有f(1)=-97)

2011-10-04 22:40:10 補充：
以高中微積分觀點：
f(x)=x^3+x-99
則f'(x)=3*x^2+1
因為對所有實數x，有f(x)>0，故知f(x)為嚴格漸增函數，故f(x)僅有一實根。
以勘根定理得知：因f(4)=-31<0，且f(5)=31>0，所以此實根在-4<-5處。