N次開方根共有多少個解？證明？

依據代數基本定理，

設n屬於N ，則對任意複係數n次方程式洽有n個根（含重根及複數根）。



(1)

x^4=1

x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=0

x=±1、±i



(2)

x^8=1

x^8-1=(x^4+1)(x^4-1)

=(x^2+i)(x^2-i)(x^2+1)(x^2-1)=0

x=±√-i、±√i、±1、±i



(3)

x^12=1

x^12-1^3

=(x^4-1)(x^8+x^4+1)

=(x^4-1)[(x^4+1)^2-x^4]

=(x^2+1)(x^2-1)(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)

=(x^2+1)(x^2-1)[(x^2+1)^2-x^2][(x^2-1)^2+x^2]

=(x^2+1)(x^2-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2+ix-1)(x^2-ix-1)

x=±1、±i、(-1±√3i)/2、(1±√3i)/2、(-i±√3)/2、(i±√3)/2

2011-10-02 21:41:39 補充：
求a的n次開方根即求x使x^n = a

根據代數基本定理﹐每條方程都會在複數域內至少有一個根

再利用數學歸納法﹐可得每條n次方程在複數域都會有n個根﹐因次n次開方根共有n個解。

n次開方根共有多少個解？

求a的n次開方根即求x使x^n = a

根據代數基本定理﹐每條方程都會在複數域內至少有一個根

再利用數學歸納法﹐可得每條n次方程在複數域都會有n個根﹐因次n次開方根共有n個解。