求兩極限無極值,經四則運算後可以求出極值.

這太好回答了吧

若
f1(x)在x>0時...值=5
f1(x)在x<0時...值=3

很明顯的f1(x)在0不連續

再來
若
f2(x)在x>0時...值=5
f2(x)在x<0時...值=3

很明顯的f2(x)=f1(x)..而且都不連續

f1(x)-f2(x)=0...
圖形永遠都是0

永遠連續!

2011-10-04 02:52:14 補充：
我以為你要問四則運算的其中一種
那我之前的例子只能滿足相減與相除

重新想了一下
若f1在p點不連續
則f2在p點一定也要不連
f1+f2才可能連

2011-10-04 02:52:18 補充：
就讓我們以p點來想
則f1(p-)≠f1(p+)
f2(p-)≠f2(p+).........................1式
以上是正確的

接下來..若f1+f2連續
則f1(p-)+f2(p-)=f1(p+)+f2(p+)
再考慮....若f1-f2連續
則f1(p-)-f2(p-)=f1(p+)-f2(p+)

兩個式子相減
2f2(p-)=2f2(p+)
f2(p-)=f2(p+).....................不滿足1式


即兩式無法同時滿足相加與相減
以上結束

"極限" 與 "極值" 是兩回事.

兩個極限求不出極值或是圖形不連續(經過夾擊之後左極值不等於右極值),但是兩極限經過四則運算之後,不論相加,相減,相乘,相除之後的極限,都可以找到極值或是圖形可以連續。
[[ANS]]
單一運算下，是可能的，如回答者001及意見者001所給之例。
但要同時加減同時成立，是不可能的。
證明如下:
已知F(X),G(X) 在 X0不連續(或極限不存在)而 F(X)+G(X) 和 F(X)-G(X) 在 X0連續(或極限存在)，則由連續性(或極限)運算定理
{定理:若 U(X)，V(X) 在 X0連續，則U(X)+V(X)和 U(X)-V(X)在X0 連續}
知
[ (F(X)+G(X)) +(F(X)-G(X))]在 X0連續，即 2 F(X) 在 X0連續，.=> F(X)在X0連續
，同理G(X)也在 X0連續。
矛盾，所以若已知F(X),G(X) 在 X0不連續(或極限不存在)而要同時F(X)+G(X) 和 F(X)-G(X) 在 X0連續(或極限存在)是不可能的。[[證明完畢]]

2011-10-04 01:18:47 補充：
也就是說,兩個無極值的函數極限只能同時相加,相乘,相除成立,
或是同時相減,相乘,相除成立.
不過我們老師好像有說有可以同時達成四則運算皆可以出現極值的情況,
不然他怎麼會丟這個問題給我們?

2011-10-04 01:19:11 補充：
[[ANS]]
狗狗 ( 初學者 4 級 )的例子修改一下:
f(x)= 1 , x rational
= -1 , x irrational
g(x)=-1 , x rational
= 1 , x irrational
加和乘 就能成立
加和除 也能成立。

2011-10-04 01:19:34 補充：
f(x)= 1 , x rational
= -1 , x irrational
g(x)=1 , x rational
= -1 , x irrational
減和乘 成立
減和除 也成立
加和減 不能成立已證明如上，
同法可證明 乘和除也不能成立。

2011-10-04 01:23:40 補充：
至於你的老師怎麼說，那無關緊要，
在證明的前面，任何人都要低頭。
何況是一個簡單得一目了然的証明之前。

你找兩個 Dirichlet function

f(x)= 1 , x rational
= 0 , x irrational


g(x)= 0 , x rational
= 1 , x irrational

這兩個拼起來永遠是 1，但拆開都沒有極限