微積分 求值域

1) f(x) = x/√(x-4)

定義域 = {x in R | f(x) 在 R 有定義}
= { x in R | x-4>0 } = (4,∞)
值域 = {f(x) | x>4} = {x/√(x-4) | x>4}

根據連續函數的相關定理, 知 f(x) 在其定義域處處連續.
又: x→4+ 時, f(x)→+∞ (而 x→+∞ 時亦然).
因此, 依連續函數之中間值定理, 可知 f(x) 的值域是 [m,+∞) 這樣的區間,
其中 m 是 f(x) 的最小值.
由 f(x) = (x-4+4)/√(x-4) = √(x-4) + 4/√(x-4),
利用算幾不等式, 得 f(x) ≧ 2[√(x-4)]．[4/√(x-4)] = 8,
等式成立於 √(x-4) = 4/√(x-4), 即 x=8 時.
故知 f(x) 之值域為 [8,+∞).


2) f(x) = (x-2)/(x+4) = 1-6/(x+4).
定義域 = {x in R | x+4≠0} = R - {-4} = (-∞,-4)∪(-4,+∞).
值域 = {f(x) | x≠-4} = {1-6/(x+4) | x≠-4}
當 x→±∞時, f(x)→1, 但 f(x)≠1, 因 6/(x+4) 不為 0.
又, x→ -4- 時, f(x)→+∞, x→ -4+ 時, f(x)→ -∞,
再由於 f(x) 在其定義域處處連續, 以及由中間值定理,
得知任何 y 介於 1 與 ±∞ 之間, 也就是任何 y≠1, 都有 x≠-4 使 f(x)=y.
因此, f(x) 的值域為 R-{1}, 或 (-∞,1)∪(1,+∞).


Note: 由於有關函數定義域、值域的問題在微積分課程屬較前面部分,
因此不適合用微分的方法來求解.

2011-10-04 19:25:23 補充：
1) 修正:

由 f(x) = (x-4+4)/√(x-4) = √(x-4) + 4/√(x-4),
利用算幾不等式, 得 f(x) ≧ 2√{[√(x-4)]．[4/√(x-4)]} = 4,
等式成立於 √(x-4) = 4/√(x-4), 即 x=8 時.
故知 f(x) 之值域為 [4,+∞).

http://tw.myblog.yahoo.com/math-life/article?mid=1820&l=d&fid=21

請問f(x)=x/√(x-4)的值域如何求?可以用微積分方法求嗎?

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/101109270670813869768370.jpg