數學知識交流---設計圓柱體

圓柱體積 = πr² h = 3π / 2
得 r² h = 3/2
每個圓柱生產成本 = 3(πr²) + 2(2πr h)= π (3r² + 4rh) = π (3r² + 2rh + 2rh) ≥ π 3 ∛ (3r² * 2rh * 2rh)
= 3π ∛ ( 12 (r² h)² )= 3π ∛ ( 12 (3/2)² )= 9π , 僅當 3r² = 2rh = 2rh 時即 r : h = 2 : 3 取得此最低成本。
把底面半徑與高之比設計成 2 : 3 才能使生產成本最低。

2011-09-21 23:25:59 補充：
設 r = 2k , h = 3k

r² h = (2k)² 3k = 3/2

k = ∛(1/4) ≈ 0.63

r ≈ 1.26 m , h ≈ 1.89 m

2011-09-22 14:32:26 補充：
計算有誤 :

k = ∛(1/8) = 1/2

r = 1 , h = 1.5

把每個圓柱體設計成底面半徑 1m , 高 1.5m 才能使生產成本最低。

π

設ｒ是半徑，ｈ是高度，ｖ是容積，ｐ是成本

ｖ＝πｒ^2ｈ＝３π／２

因此，　ｈ＝３／２ｒ^2 ------(1)

ｐ＝３(πr^2)+2(2πrh)

=３πr^2+4πrh
將(1)代入此式，我們得出

p=３πr^2+4πr(3/2r^2)
=３πr^2+6π/r -------(2)

dp/dr = π(6r-6/r^2)

因為d^2p/dr^2 =+ve, 所以當dp/dr=0那點是　最少值(minimum point)

dp/dr=0
=> 6r-6/r^2=0
r^3=1
r=1米
h=1.5米

希望幫到你!

需時理解一下......

設h為高，r為半徑

丌r^2h = 3丌/2

r^2=3/2h

r=平方根(3/2h)