數學知識交流---質數倒數和

注意到 Σ 1/n = Π (1/1 - p^(-1))

ln Σ 1/n

= ln Π (1/1 - p^(-1))

= Σ ln (1/1 - p^(-1))

= - Σ ln (1 - 1/p)

= Σ (1/p + 1/2p^2 + 1/3p^3 ... + )

= Σ 1/p + Σ 1/p^2(1/2 + 1/3p + ...)

< Σ 1/p + Σ 1/p^2(1 + 1/p + 1/p^2 ...)

= Σ 1/p + Σ 1/[p(p - 1)]

= Σ 1/p + C

考虑Σ 1/[n(n - 1)] = 1 - 1/n => C < 1, 配合 Σ 1/n = ∞ (n -> ∞)

=> 全体质数的倒数和是发散的。

PS:若果全体质数是有限的﹐则Σ 1/p 也是有限的﹐与已证得的结果矛盾﹐因此质数的数目是无限的。

2011-09-21 19:55:27 補充：
唉，不拿事实说话总有人不相信。

这在数学分析里可以说是众所周知的事实，只要是看过菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》的人都会明白是怎么回事，但总是有人不相信这一点。

http://zhidao.baidu.com/question/12375652.html?fr=qrl