完全平方數證明...快請高手!!

[匿名]

2011-09-17 4:22 am

2n^2+1 3n^2+1 6n^2+1 不會同時為完全平方數的証明

回答 (2)

用戶2053

2011-09-17 6:40 am

✔ 最佳答案

反證法 :
假設 2n²+1 , 3n²+1 , 6n²+1 同時為完全平方數 , 則 (2n²+1) (3n²+1) (6n²+1) 亦必為完全平方數。
而 (2n²+1) (3n²+1) (6n²+1) = 36n⁶ + 36n⁴+ 11n² + 1 ;
考慮 (6n³ + 3n)² = 36n⁶ + 36n⁴+ 9n²及 (6n³ + 3n + 1)² = 36n⁶ + 36n⁴+ 12n³ + 9n² + 6n + 1 ,
故 (6n³ + 3n)² < (2n²+1) (3n²+1) (6n²+1) < (6n³ + 3n + 1)²
即 (2n²+1) (3n²+1) (6n²+1) 是兩個連續完全平方數之間的數 ,
所以 (2n²+1) (3n²+1) (6n²+1) 不是完全平方數 , 茅盾!
故 2n²+1 , 3n²+1 , 6n²+1 不能同時為完全平方數。

2011-09-17 13:54:24 補充：
z14 :

見笑了!這題頗有名。
請問你是發問者嗎?

2011-09-17 14:01:11 補充：
嗯嗯.....^^"

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[匿名]

2011-09-17 6:56 am

TO:雨後陽光
我用奇偶判斷,糾纏好久
真是謝謝你!!!! 效率and實力都高!!

2011-09-17 13:57:35 補充：
我是發問的,做過很多類似題目,都是用奇偶反證,思想僵化了

所以感謝!

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