看似簡單的倍數難題 幫幫忙

我用結果來跟你反推整個過程，這樣概念會比較清楚：

原式：甲×8＋5＝乙×7＋3

我在左右各加11可變成：

甲×8＋16＝乙×7＋14
→(甲+2)×8=(乙+2)×7
→(甲+2)：(乙+2)=7：8

因此可得，
當(甲+2)等於7時，(乙+2)就要等於8 →甲=5，乙=6
當(甲+2)等於14時，(乙+2)就要等於16 →甲=12，乙=14
當(甲+2)等於21時，(乙+2)就要等於24 →甲=19，乙=22
...

因為甲乙兩數列為等差成長，因此可以用參數式表示：

甲=5+7t，乙=6+8t，t為大於等於0的整數。




再且說那個11是怎麼出來的，

11是為了使原式左右兩邊的常數在做甲乙的化簡時可以以整數的形式納入()中，
而在左右式補上的共同常數，

可由下式中求得：

(5+a)：(3+a)=8：7
24+8a=35+a
a=11

這樣做法，
求出甲以化簡項的整數解後，
就可以直接解出甲乙的整數解。

當然這不是唯一個做法，只是其中一個可以用的想法:)。

Sol
8甲+5=7乙+3
7乙=8甲+2
乙=甲+(甲+2)/7
存在正整數p使得
(甲+2)/7=p
甲=7p－2
7乙=8甲+2=56p－14
乙=8p－2

設甲=x，乙=y
8x+5=7y+3
-8x+7y=2
觀察後可得第一組正整數解(x，y)=(5，6)
在-8x+7y=2中，利用第一組解，把式子變換一下→
-8x+7y
=-8*(7t+5)+7(8t+6)
=-56t-40+56t+42
=(42-40)+(56t-56t)
=2
也就是說t不管帶任何數字，答案都會是2
所以可以得到x與y的通解
x=7t+5
y=8t+6
而題目需要正整數解，那就把t用大於等於0的正整數帶進去就好了。