中六數學 - 等比數列(20點)

19)在-4咎8兩個數之間插入
(a) 3個數;
(b) 7個數,
使該數列形成一個等差數列

解:(a)首先我們知道-4和8插入 3個數後形成的等差數列一共有5個數，
分別為 -4 , -4+x , -4+2x , -4+3x , 8，這裡x為每項之間的差，
正因為這是等差數列，所以 8 = -4 + 4x。
(-4 , -4+x , -4+2x , -4+3x , -4 + 4x)
解了8 = -4 + 4x，得到 x =3，所以要插入的數字為
-4+x , -4+2x , -4+3x
|| || ||
-1 2 5
(其實關鍵在於知道8 = -4 + 4x 及要插入的數字為-4+x , -4+2x , -4+3x)
(b)題(a)差不多，只是今次要利用 8= -4 + 8x
及要插入的數字為-4+x , -4+2x , -4+3x,... -4+7x

24)求等差數列-101,-98,-95, ... ,43的
(a)第一個正數項;
(b)正數項的項數.
解:(a)-101,-98,-95, ... ,43為等差數列，每項之間的差為3，
留意第n項 = -101 + 3(n-1)
解不等式(inequality) 第n項 >0
-101 + 3(n-1) > 0
n > 104/3 = 34.33
由此我們可以知道n=35是最小的n使得 第n項 >0，
所以 第35項=1 是第1個正數項
(b) 求正數項的項數
由題(a)，我們知道 第1個正數項是 1。
設m為正數項的項數。
正數項分別為 1 , 1+3 , 1+2x3 , ... , 1 + (m-2)x3 , 1+ (m-1)x3
||
43
解 1+ (m-1)x3 = 43，我們知道 m = 15。
27)有一個通項為T(n)的等差數列,其第5項是首項的四倍,而數列的第6項又比第3項的兩倍少1.
(a)求T(n).
(b)若T(m)-T(25)=81,求m的值.
解:(a)方法:搬字過紙，用字面的解法去setup equation。
設T(1)為a，每項之間的差為k。
我們知道 T(n) = a + k(n-1)
第5項是首項的四倍意思是:
第5項=第1項的四倍
那麼 T(5)= 4 x T(1)
a + 4k= 4a
4k = 3a
------
數列的第6項又比第3項的兩倍少1 意思是:
數列的第6項 - 第3項的兩倍 = -1
T(6) - 2 x T(3) = -1
(a + 5k) - 2 x (a + 2k) = -1
-a + k = -1
-------
解: 4k = 3a ; -a + k = -1
得到 k=3 ; a=4，所以 T(n) = 4 + 3(n-1) = 3n +1。
解:(b) T(m)-T(25)= 81
3m+1 - (3*25 + 1)= 81 <--用(a)，知道T(m)等於幾多。
3m = 156
m = 52

1)在－4和8兩個數之間插入
(a) 3個數;
(b) 7個數,
使該數列形成一個等差數列
Sol
(a)
a1=－4
a5=8=a1+4d=－4+4d=8
d=3
a2=－4+3=－1
a3=－1+3=2
a4=a3+d=2+3=5
So
－1，2，5

b)
Sol
a1=－4
a9=a1+8d=－4+8d=8
d=1.5
So
－2.5，－1，0.5，2，3.5，5，6.5

2)求等差數列－101，－98，－95，... ，43的
(a)第一個正數項;
(b)正數項的項數.
Sol
a1=－101
an=a1+(n－1)d
an=－101+(n－1)*3>0
3n>104
n>34.66
n>=35
a35=-101+3*34=1
(a)1
(b) 35項

3)有一個通項為T(n)的等差數列，其第5項是首項的四倍，而數列的第6項
又比第3項的兩倍少1.
(a)求T(n).
(b)若T(m)－T(25)=81，求m的值.
Sol
(a)
T(5)=T(1)+4d=5T(1)
d=3T(1)/4
T(1)+5d=2*(T(1)+2d)－1
T(1)+15T(1)/4=2*(T(1)+6T(1)/4)－1
4T(1)+15T(1)=8T(1)+12T(1)－4
T(1)=4，d=3
T(n)=4+(n－1)*3=3n+1
(b)
T(25)=3*25+1=76
T(m)－T(25)=81
3m+1－76=81
m=52