數學：質數求證

答案是肯定的 , 利用反證法 :

假設 y = 1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! + ... 是有理數 , 則 y = 1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! + ... = P / Q , (P , Q 是正整數)因 y = 1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! + ...
明顯
< 1/2 + 1/2² + 1/2³ + 1/2⁴+ 1/2⁵ + ... = 1/2 / (1 - 1/2) = 1故 y = P / Q < 1 , 從而 Q ≥ 2 。
考慮 P / Q = 1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! + ... (P / Q) * Q! = (1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! + ...) Q!P * (Q - 1)! = (1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! + ...) Q!
因質數是無窮的 , 故能找到某個 n 使得 π(n) ≤ Q < π(n+1) 。
P * (Q - 1)!
= (1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! +...+ 1/π(n)! + 1/π(n+1)! + 1/π(n+2)! + ...)Q!
= ( 1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! + ... + 1/π(n) ) Q!
+ ( 1/π(n+1)! + 1/π(n+2)! + ... ) Q!
左方 P * (Q - 1)! 明顯是整數 , 右方前項 ( 1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! + ... + 1/π(n) ) Q! 亦明顯為整數 ,故右方後項 ( 1/π(n+1)! + 1/π(n+2)! + ... ) Q! 必須為整數才可能成立等式。可是 , 右方後項
( 1/π(n+1)! + 1/π(n+2)! + ... ) Q!< ( 1/π(n+1)! + 1/(π(n+1) +1)! + 1/(π(n+1) +2)! + ... + 1/π(n+2)! + ... ) Q!= Q! / π(n+1)! + Q!/(π(n+1) +1)! + Q!/(π(n+1) +2)! + ... + Q!/π(n+2)! + ......

因 π(n+1) > Q , 即 π(n+1) ≥ Q+1 ≥ 2+1 = 3
∴
< Q! / (Q+1)! + Q! / (Q+2)! + Q! / (Q+3)! + ......
= 1/(Q+1) + 1/((Q+1)(Q+2)) + 1/((Q+1)(Q+2)(Q+3)) + ...... < 1/3 + 1/(3*4) + 1/(3*4*5) + ......
< 1/3 + 1/3² + 1/3³ + ......
= 1/3 / (1 - 1/3)
= 1/2
至此明確右方後項 ( 1/π(n+1)! + 1/π(n+2)! + ... ) Q! < 1/2 , 故右方後項不可能是正整數 , 且它明顯大於零 , 故右方不是整數 , 從而
P * (Q - 1)! = ( 1/2! + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/11! + ... + 1/π(n) ) Q!
+ ( 1/π(n+1)! + 1/π(n+2)! + ... ) Q!不可能成立。
即不存在正整數 P , Q 使得 y = P / Q 。故 y 是一個無理數。

2011-09-09 12:46:25 補充：
右方前項的最後一項 1/π(n) 應是 1/π(n)!

1)不明白第2個等號是什麼意思。
2)你個y=y(n)，最後問 "求證lim y 是否無理數"或"求證 y 是否趨向一個無理數"比較 合理?