求解高中數學問題 ?

設a,b,c,d都不為0。因為若a=0，由條件可得b=±1，d=0，c=±1，所證結果顯然成立。

由a^2+b^2=1，c^2+d^2=1，可構造出兩個直角三角形(如圖)：
△ABC和△CDA



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06947407/o/161109050802413872565220.jpg

並有AC=1，AB=|a|，BC=|b|，AD=|c|，CD=|d|。
由ac+bd=0可得 |a|/|b|=|d|/|c|，
所以有△ABC(全等於)△CDA。因而|a|=|d|，|b|=|c|，於是有
a^2+c^2=1，b^2+d^2=1，
且|ab|=|cd|，由ac+bd=0可知ab和cd異號，故
ab+cd=0

2011-09-06 00:12:00 補充：
另解：
(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1……(1)
由於ab+cd=0，所以有d=-ac/b……(2)
將(2)代回(1)式：
[ac-b(-ac/b)]^2+[a(-ac/b)+bc]^2=1
(2ac)^2+[(-a^2)c/b+bc]^2=1
[(a^2)c/b+bc]^2=1
(a^2+b^2)^2*c^2=b^2
c^2=b^2
c=±b代入(2)得到d=±a
由於ac+bd=0，故有
a=d,b=-c……(3)
或
a=-d,b=c……(4)
由(3)、(4)皆可得到ab+cd=0

2011-09-06 19:03:49 補充：
真熱鬧耶~~ 一題好幾種解法@@

補充一下：
令z1=a+bi,z2=c+di，因為有|z1||z2|=|z1*z2|，即|z1|^2*|z2|^2=|z1*z2|^2
所以有(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

月下隱者 ( 專家 1 級 ):你好。
看你收集了好幾個不同的作法，
也許你對這個做法也有興趣。


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/161109050802413872565210.jpg

有趣的 速解法
http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=3577&prev=1185&next=3576

2011-09-06 08:37:49 補充：
To Sam ：
十分謝謝，Sam兄提供的 向量方法。這又是另一種不同的思維。
謝謝。

再提供一解
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=raikumakoto1&b=5&f=1611095351&p=37

請參考