高手幫幫忙積分問題~1/((cosx)^6+(sinx)^6

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2011-09-05 7:10 pm

1/((cosx)^6+(sinx)^6) 怎麼基

若是另 x = tan(t/2) 要怎麼基

更新1:

阿B 你的解法不錯可是你的答案錯了答案是翻雷滾天的才對ㄝ還是兩個是一樣的寫法不同??

更新2:

再補充一題 1/ ( (cosx)+(sinx) ) 令 t=tanx 得 x=tan^-1(t) , dx=1/(1+t^2) ,cosx=1/(1+t^2) ,sinx=(t^2) / (1+t^2) 原式 = 積分 { [1 / ( 1/ ( (1+t^2) + (t ^2)/(1+t^2) ) ] (1/(1+t^2)) }dt = actan(t) = actan(tanx) + c 可我把答案在微回去 [ actan(tanx) ] ' = sec^2(x) / ( 1 + tan^2x) = 1 跟題目不合請問是哪有錯嗎??

更新3:

dx=1/(1+t^2) dt 漏掉了 actan=tan-1

更新4:

為什麼不可以令 t=tanx 不是沒有限制嗎??

更新5:

已經另外發問一提新的了 http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1511090704195

更新6:

貼錯了這個才是 http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1611090801610

回答 (3)

用戶25975

2011-09-05 9:48 pm

✔ 最佳答案

圖片參考：http://i1191.photobucket.com/albums/z467/robert1973/Sep11/Crazyint2.jpg

註: 若將 t = tan (x/2) 作為本題的解法將會變成 t12 的多項式, 解法上會較為複雜

2011-09-06 08:48:13 補充：
兩者表達方式不同, 但最終可化為一樣:
a = tan-1 (2 tan x - √3)
b = tan-1 (2 tan x + √3)
tan (a + b) = [(2 tan x - √3) + (2 tan x + √3)]/[1 - (2 tan x - √3)(2 tan x + √3))
= 4 tan x/[1 - (4tan^2 x - 3)]
= tan x/(1 - tan^2 x)
= (1/2) tan 2x

所以 a + b = tan-1 [(1/2) tan 2x]

2011-09-06 21:27:20 補充：
代 t = tan (x/2), 則:
dt = (1/2) sec^2 (x/2) dx = (1 + t^2)dx/2, 即 dx = 2dt/(1 + t^2)
所以:
∫dx/(cos x + sin x)
= 2∫dt/(1 - t^2 + 2t)
= -2∫dt/(t^2 - 2t - 1)
= -2∫dt/[(t - 1)^2 - 2]
= -2∫du/(u^2 - 2) 其中 u = t - 1

2011-09-06 21:27:24 補充：
= -(1/√2) ∫ [1/(u - √2) - 1/(u + √2)] du
= -(1/√2) [ln |u - √2| - ln |u + √2|] + C
= (1/√2) [ln |u + √2| - ln |u - √2|] + C
= (1/√2) ln [|u + √2|/|u - √2|] + C
= (1/√2) ln [|tan (x/2) - 1 + √2|/|tan (x/2) - 1 - √2|] + C

2011-09-06 21:27:58 補充：
閣下寫錯了 t = tan x, 應該正確為 t = tan (x/2)

2011-09-07 08:40:06 補充：
將 t = tan x 是較少用的做法, 半角公式 t = tan (x/2) 較常用.
對不起, 如想知更多, 請閣下另起一題發問.

參考: 原創答案

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[匿名]

2011-09-06 4:01 am

微積分補站 http://140.128.93.214/xoops216 提供解答

另一種解法

圖片參考：http://140.128.93.214/ilovewww/test2/1000905_ask2.gif

2011-09-06 17:22:48 補充：
兩個答案都對

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老怪物

2011-09-05 7:45 pm

cos^6 + sin^6 = (cos^2 + sin^2)(cos^4 - cos^2 sin^2 + sin^4)
= (cos^2+sin^2)^2 - 3 cos^2 sin^2
= 1- (3/4)(2 cos sin )^2

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收錄日期: 2021-05-04 01:46:24
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110905000015KK01945

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