詭異的三角函數週期問題

我認為不是週期函數

根據週期函數的定義，若有f(x+T)=f(x)，則f(x)為週期函數，並且週期為T

假設f(x)為週期函數，並且週期為T，

則有f(x+T)=sin[√2(x+T)]+cos[√3(x+T)]
=sin[√2x+√2T]+cos[√3+√3T]
=f(x)
=sin[√2x]+cos[√3x]

所以必須有√2T=2pi*m，√3T=2pi*n (其中m，n為整數)

所以T=2pi*m/√2=2pi*n/√3

沒有任何整數符合上式，所以T不存在，f(x)為非週期函數



2011-09-01 18:11:17 補充：
感謝Sam ( 實習生 2 級 ) 的補充說明~~

這部份當初的確沒有細心想過

2011-09-01 18:12:45 補充：
另外，我發現我將週期函數的定義寫錯了，定義應為：

若有f(x+nT)=f(x) (其中n為任意整數)，則f(x)為週期函數，並且週期為T

但這基本上並不影響原本的證明

Re 教書的 ( 專家 5 級 )

感謝提醒，我知道我錯在哪裡了。

正解如下：設T為運期則
sin[(√2)x + T]+cos[(√3)x+ T] - sin[(√2)x] - cos[(√3)x] =0
(sin T/2) [ cos (√2 x + T/2) - sin (√3 +T/2)] = 0
由 sin T/2 = 0 解得T = 2nπ
所以週期是2π

To 【生死平衡】 ( 專家 5 級 ):

（圖中可見 y=2AB的圖像被y=2A 及y = -2A 所包圍）所以 f(x)是週期函數，週期為A的週期，.....

被包圍是事實，但也可以看出來每一個A週期裡的y=2AB長相皆不同. 如何鑑定y=2AB是週期函數?且週期為A的週期?

sam ( 初學者 5 級 ): 你好。
sin[√2x+√2T]+cos[√3+√3T]
=sin[√2x]+cos[√3x]
必須有√2T=2pi*m，√3T=2pi*n (其中m，n為整)

應當是對的，但並不那麼直接，應該證明一下。
因為:
sin[√2x+√2T]+cos[√3+√3T]
=sin[√2x]+cos[√3x]
並不會
.=> sin[√2x+√2T]= sin[√2x]
且 cos[√3+√3T]= cos[√3x]
就像 :
A+b=c+d
並不會
.=> a=c 且 b=d 一樣。

2011-09-01 15:25:53 補充：
sam ( 初學者 5 級 ):你好。
考慮:
sin[√2x+√2T]+cos[√3+√3T]=sin[√2x]+cos[√3x]…(1)
兩邊對 X 導微兩次，得:
-2 sin[√2x+√2T]-3cos[√3+√3T]=-2sin[√2x]-3cos[√3x]…(2)
.(1)*3+(2) 得 sin[√2x+√2T]=sin[√2x] …(3)
.-(2) – (1)*2 得 cos[√3+√3T]=cos[√3x]…..(4)
由 (3)及(4) 再加上你的部份，就完成一個完整的証明了

2011-09-01 15:31:47 補充：
【生死平衡】 ( 專家 4 級 ): 你好。
f(x+T)=sin[√2(x+T)]+cos[√3(x+T)]
=sin[√2x+√2T]+cos[√3+√3T]
不是 : f(x+T)= sin[(√2)x + T]+cos[(√3)x+ T]
所以 你還是不對。

2011-09-02 01:28:47 補充：
**我那位補習班老師在高中數學領域算是泰斗**

一般而言，補習班老師的數學水準都不是很好，
從他會說f(x)=sin[(√2)x]+cos[(√3)x]
週期為2pi來看，就可以知道。
因為只要用數值驗證一下就可以知道。
驗證如下:
.f(0)=sin 0 +cos 0=1
.f(2Pi)=sin(√2)2Pi]+cos[(√3)2Pi]
{用計算器}
=0.400749...
驗證完畢。

2011-09-02 01:29:43 補充：
你想一想，哪一個數學工作者，在解決問題之初，
不對自己的猜測，反覆的做檢驗的工作的。
水準不是很好，不能怪他，畢竟他不是數學工作者。
但我們也不能太高估他們，尤其稱之為泰斗，
就太誇張了。
常聽到誰誰數學有多厲害，那是不了解數學的人講的話。
真正厲害的大匠，是那些你在課本上，或書上看到名字的人。
稱他們為泰斗，那就沒有人有異議了。

2011-09-02 01:51:23 補充：
Definition
A function f is said to be periodic with period P
if (for some nonzero constant P) we have
f(x+P)=f(x)
for all values of x. If there exists a least positive constant P
with this property, it is called the prime period.

FROM　ＷＩＫＩ
http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_function

2011-09-02 02:05:12 補充：
所謂「週期函數」是指 :

設 函數 f(x) 滿足下列條件 :

若 f(x+k) = f(x) (其中 k 為正數) , 則稱 f(x) 為週期函數。

我們把所有的正數 k 中最小的 k 值稱為函數 f(x) 的週期

FROM :高分數學部落格首頁
http://tw.myblog.yahoo.com/jw!oqdI9ImfGRCf52tB2q0ALQ--/article?mid=73