一題機率題

a)
其中一袋為空時 , P(勝) = 1/2 顯然非最大勝算。設其中一袋有球 x 個 ,當中紅球有 k 個不多於另一袋 ,則
P(勝)
= f(x)
= (1/2) [ k/x + (100 - k) / (200 - x) ] (其中 1 ≤ k ≤ 50 及 k ≤ x ≤ 100 + k)
令 x1 < x2 為 x 的某兩個取值,
f(x1) - f(x2)
= (1/2)[ k/x1 + (100-k)/(200-x1) - k/x2 - (100 -k)/(200 -x2) ]
(x2 - x1)[20000k - 100k(x1 + x2) - (50-k)(x1 x2)]
= _________________________________________________
x1 (x1 - 200) x2 (x2 - 200)
上式正負性等同於 20000k - 100k(x1 + x2) - (50 - k)(x1 x2) 。 當 k 為常數時 ,明顯
20000k - 100k(x1 + x2) - (50 - k)(x1 x2) 隨 x1 增加而單調減少 , 這意味 20000k - 100k(x1 + x2) - (50 - k)(x1 x2) 隨 x1 在其定義域內增加而有三種可能的情況 :

Case 1 : 由大於 0 逐漸變為小於 0 , 即 f(x1) 隨 x1 增加由大於 f(x2) 逐漸變為小於 f(x2)。

Case 2 : 逐漸變小但永遠不小於 0 , 即 f(x1) ≥ f(x2)。

Case 3 : 永遠小於 0 且逐漸變小,即 f(x1) < f(x2)。而
f(k)
= (1/2) [ 1 + (100-k)/(200-k)]
f(100)
= 1/2
f(100 + k)
= (1/2) [ k/(100+k) + 1]
明顯
f(k) > f(100) < f(100+k) ,屬 Case 1 情況。 注意兩方分子分母同差 ,結合 1 ≤ k ≤ 50 ,
顯然 (100-k)/(200-k) ≥ k/(100+k)。即 f(k) ≥ f(100 +k) 故當 k 為常數時, 以 f(k) = (1/2) [ 1 + (100 -k)/(200 -k)] 最大 ,當中又以 k = 1 時最大 , 故 f(x) 極大值
= (1/2) (1 + 99/199) = 149/199 ≈ 0.7487 ,
當 k = x = 1 時取到。
最大勝算策略為放一紅球於一袋 ,其餘的球放於另一袋。


b)
因紅黑球數量相等 ,
在隨機分配下兩者被抽出的機率是一樣的 ,
故玩家勝出的期望值 = 1/2。


2011-08-30 13:58:04 補充：
關於 a) :

其中一袋為空時 , P(勝) 應為 1/4。

x1 與 x2 之差為常數 , 當差為 1 時 , x 為整數的情況得證。

還有兩個 Case :
逐漸變小但永遠大於 0 , 即 f(x1) > f(x2)。
逐漸變小但永遠不大於 0 , 即 f(x1) ≤ f(x2)。

2011-08-31 16:49:01 補充：
「x1 < x2 為 x 的某兩個連續取值」 , 這樣說就最清楚準確了。

2011-09-03 15:09:45 補充：
抱歉遺漏了當 k = 0 時未討論(這不屬Case 1 故要分開討論) :

f(x) = 0/x + 100/(200 - x)
極大值明顯 = 1/2 , 當 x = 100 時取到。

Thank you! ^^"

Best strategy for Q1 is to put 1 red ball in bag #1 and the rest into #2. Probability of winning will be 1/2 + 1/2 * ( 199/200 ) = .7487
Any deviation from this will end up with a small probability.