數學知識交流---考据的問題之其一

用二項式定理解出:

(1 + n)p - np - 1 = Σ (k = 1 → n - 1) pCk nk

對任何質數 p:

pCk = p(p - 1) ... (p - k + 1)/k!

當 k 為 1 至 p - 1 時, 分子至少有一個 p 的存在, 再者分母由 2 到 k 階乘中每個數均與 p 互質 (因為 p 是質數)

所以分母中沒有一個數能與 p 相約, 即 p 值保留不動.

寫成:

pCk = p [(p - 1) ... (p - k + 1)]/[2 x 3 x 4 x ... x k]

由 p - k + 1 至 p - 1 為 k - 1 個連續正整數, 最小為由 2 至 k (因為 p >= 2, p - k + 1 >= 2)

所以由 p - k + 1 至 p - 1 為 k - 1 個連續正整數當中必至少有一個有 2 - k 為因數的數.

所以, [(p - 1) ... (p - k + 1)]/[2 x 3 x 4 x ... x k] 為整數

即 pCk 可被 p 整除 (當 1 <= k <= p - 1), 最後:

(1 + n)p - np - 1 = Σ (k = 1 → n - 1) pCk nk

可被 p 整除.