三角函數問題：sin（90+θ）＝cosθ，為什麼？

先畫出一個單位是一的座標平面圖如圖



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AF02688475/o/161108240898413872518440.jpg


接下來要看sin（90+θo）的話要看成下圖的型式



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AF02688475/o/161108240898413872518441.jpg

原因:
你要看三角函數一定要看成直角三角形的型式.


本來（90+θo）應該要是下面紅線處所造成的鈍角,但為了計算三角函數,所以要看做紅線處鈍角的外角~



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AF02688475/o/161108240898413872518452.jpg

因此來計算一下sin（90+θo）,斜邊分之對邊
為√2分之1 (正)

計算一下cosθ,斜邊分之鄰邊,同樣是√2分之1(正)

所以 sin（90+θo）＝cosθ

2011-08-24 20:36:10 補充：
是說我奇摩部落格有一個是我自己打的數學公式文章,在右邊的邊欄有一清二楚的連接,有興趣再看.
不過要先說,文章內容滿糟糕的///_/// 不要懷疑,是另外一個糟糕,所以請三思再點進去,不要說我沒先告訴你

2011-08-24 20:43:58 補充：
沒錯,（90+θo）確實應該要是紅線處造成的那個鈍角,但是我上面也說,若是扯上了三角函數,在座標平面上就必須看成那個鈍角的外角

2011-08-24 20:46:18 補充：
三角函數的角度,不管是鈍還是銳,皆要以看做銳角的型式來計算

2011-08-24 20:47:23 補充：
那張是好久以前的老圖了......
是說那文章的圖看看就好,重點是文字公式內容啊啊啊啊啊!!!!!!!!!!!

2011-08-24 20:55:00 補充：
裡面你還沒教的東西可以先預習一下,那都是之後會教到而且滿重要的公式,你如果有問題也可以在那裡問我~

2011-08-24 21:03:39 補充：
是說我剛才把和角公式那加了背誦口訣,要記的時候參考口訣記會記得更清楚......

2011-08-24 21:43:38 補充：
另一個回答者是直接用他圖型所畫的方式(一個半徑為1的單位圓)來直接證明sin（90+θ）＝cosθ
我則是比較喜歡用實例來證明,所以用了如我回答那的證法,畢竟實際代入數字是驗證試金石.

2011-08-25 14:03:24 補充：
真假?三角函數擺在高三!?你是從哪裡看到的資訊,是不是你是不是看成三角函數其它比較複雜的應用,不然三角函數基本定理不可能高三才教.
三角含.....我是說三角函數,是讀理工的必備知識.教綱亂......只能說各位學生辛苦啦!

2011-08-25 14:54:01 補充：
奇變偶不變,正負看原象限
教角度轉換的時候,我們老師也是這樣跟我們講,滿好用的~
(是說我部落格那沒寫到這口訣,去補一下好了

高一學機率和排列組合=口=
這東西我到現在都還不行的說......

2011-08-25 16:58:06 補充：
相信圖是滿好的,尤其是你以後物理如果運用圖解來解的話會學的比較上手~
不過就現實層面,記公式是為了解題快速,否則土法煉鋼也是能搞出來,所有公式都是經前人土法練出來的結果,可以慢慢導公式,但你題目很容易就寫不完了這樣~

2011-08-25 17:36:48 補充：
學測用圖OK,也可以不用背公式,因為公式就附在題本後面~(沒誤
學測數學題目也不多不需煩雜計算,所以用圖可以讓自己答題的信心大增,這是可行的! 速度的話你自己就要注意一下不要寫不完,而且還要留時間來檢查就可以了

2011-08-25 18:40:06 補充：
他是以單位圓(半徑為一的圓),畫出他畫的兩個全等三角形來作證明.
因為是全等三角形的關係,他的三角形鄰邊等長,藉此證明sin（90度+θ）＝cosθ
順帶問一下,神奇你應該知道 π(念作pai) 是代表180度的意思吧?

2011-08-25 19:53:20 補充：
好,那就代表你還沒學到,那就先不講等之後老師再跟你說~你有興趣知道的話再提出來~
題外話:
圓周率是π(像是國字 兀) 這個符號應該就有看過吧?畢竟你現在要用到圓周率的話,老師就直接跟你說pai而不會講3.14

聽說99課綱的三角函數是擺在高三??

我跟希洛這屆的都是在高一下學期就學了...

我覺得教育部根本就在亂來...物理早早就要用三角函數了= =

http://images.uncyc.org/zh-tw/2/28/1207665036977.jpg
順便提供一張三角函數示意圖(我是來亂的

2011-08-25 14:09:59 補充：
順便提供一點補習班的快招好了

奇變偶不變 正負看象限(此名句丟搜尋可找到很多 奇是奇數

這個回答者講得不錯 可以參考看看
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1608010302984

主要還是廣義角的定義要知道
sinθ=y/r
cosθ=x/r
tanθ=y/x

2011-08-25 14:13:21 補充：
回希洛

我的資訊也只是聽說的... 詳細要問神奇囉? 三角函數在99課綱真的被丟高三了?

而我很肯定現在他們高一是先學排列組合和機率(囧

因為有看到補習班學弟妹拿的講義

題目： sin（90+θo）＝cosθ

(1)

若θ = 0 時 代入 →

sin (90+0) = cos 0

sin 90 = cos 0

∵ sin 90 = sin ( 兀 /2 ) =1

∵ cos 0 = 1

∴ sin（90+θo）＝ cosθ


(2)

若θ=90 時 代入→

sin (90+90) = cos 90

sin 180 = cos 90

sin 兀 = cos (兀/2)

∵sin 兀 = 0
∵cos (兀/2) =0

∴ sin（90+θo）＝ cosθ




2011-08-25 00:24:58 補充：
題目： sin（90+θo）＝cosθ

妳題目的這個sin（90+θo）中的 "θo" 將它改成 一樣是 "θ"


→sin（90+θ）＝cosθ 別被這"θo"符號混淆了. 一樣的。


∵ sin 90 = sin ( 兀 /2 ) =1
∵ cos 0 = 1


∵sin 兀 = 0
∵cos (兀/2) =0 這些常用的角度要背!!

０＜ θ≦９０，２７０＜θ≦３６０則sin（９０＋θ）為正，cosθ為正，等號成立

θ＝０，９０則sin（９０＋θ）為零，cosθ為零，等號成立

９０＜θ＜２７０則sin（９０＋θ）為負，cosθ為負，等號成立

所以，得證sin（９０＋θ）＝cosθ

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD01636710/o/161108240898413872518430.jpg

∠POA+∠BOC=π/2 (1)
∠CBO+∠BOC=π/2 (2)
(1)及(2)→∠POA=∠CBO=θBC
=B 點的 y 座標
=sin(π/2+θ) (3)由直角三角形 OBC
→BC=cosθ (4)(3)及(4)→sin(π/2+θ)=cosθ

2011-08-24 23:51:18 補充：
令 x 軸的正向為 0 度，P 點的角度為θ
由直角三角形 POA 得
cosθ=OA/OP
OA=OPcosθ=1×cosθ=cosθ
sinθ=PA/OP
PA=OPsinθ=1×sinθ=sinθ
→P 點的座標為 (cosθ,sinθ)
若 B 點的角度為π/2+θ
則 B 點的座標為 (cos(π/2+θ),sin(π/2+θ))
由直角三角形 OBC 得
cosθ=BC/OB
BC=OBcosθ=1×cosθ=cosθ
sin(π/2+θ)
=B 點的 y 座標 (>0)
=BC
=cosθ
→sin(π/2+θ)=cosθ

2011-08-24 23:53:32 補充：
由直角三角形 OBC 得
sinθ=OC/OB
OC=OBsinθ=1×sinθ=sinθ
cos(π/2+θ)
=B 點的 x 座標 (<0)
=-OC
=-sinθ
→cos(π/2+θ)=-sinθ

tan(π/2+θ)
=sin(π/2+θ)/cos(π/2+θ)
=cosθ/-sinθ
=-cotθ

cot(π/2+θ)
=1/tan(π/2+θ)
=-1/cotθ
=-tanθ

sec(π/2+θ)
=1/cos(π/2+θ)
=-1/sinθ
=-cscθ

csc(π/2+θ)
=1/sin(π/2+θ)
=1/cosθ
=secθ

2011-08-25 00:15:37 補充：
數學教科書是以單位圓的觀念解釋
sin(-θ), cos(-θ), tan(-θ), cot(-θ), sec(-θ), csc(-θ)
sin(π/2±θ), cos(π/2±θ), tan(π/2±θ), cot(π/2±θ), sec(π/2±θ), csc(π/2±θ)
sin(π±θ), cos(π±θ), tan(π±θ), cot(π±θ), sec(π±θ), csc(π±θ)
sin(3π/2±θ), cos(3π/2±θ), tan(3π/2±θ), cot(3π/2±θ), sec(3π/2±θ), csc(3π/2±θ)
想學好數學請讀懂教科書
數學重理解而非死背

2011-08-25 18:26:08 補充：
以單位圓解這題是圖解法且是最佳解法
我寫這麼詳細
你還看不懂
你把數學教科書讀懂再說吧
唉...

2011-08-25 18:42:19 補充：
π (弧度或弳)=180 度
π/2 (弧度或弳)=90 度