高二物理－如何運用微分解決速度問題？

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06042481/o/101108240622813869650140.jpg
黑白與共
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根據此問題，做了以下幾點分析

※何謂微分？ 微分－求"斜率"的數學技巧

《微分》物理意義

one.x-t圖斜率為v→對x(t)微分，可得v(t)

two.v-t圖斜率為a→對v(t)微分，可得a(t)

《說明白》

微分是求"斜率"，那麼用"微分"求"x-t圖"的斜率，不就得出v(t)嗎？

同理，對v-t圖微分，則得斜率a(t)

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多項式的微分如何使用？

EX：－６ｔ2＋２４ｔ微分

＂次方移到前面，次方減一＂

變成 ＝ (－６)×２t＋２４×1 即 －１２t＋２４

"二次方把２移到前面，二次方減一得一次方"

這是一次微分

若在微分呢？方法同上

二次微分＝(－１２)×１ 即 －１２

"一次方把１移到前面，一次方減一變得０次方(０次方為１)"

------------------------------------------------------略介紹到此，有問題可再發問

進行直線運動的質點，
其位置ｘ（公尺）與時間ｔ（秒）的關係為ｘ＝－６ｔ2＋２４ｔ

若定初速方向為正向，則下列敘述何者正確？　（多選）

Ａ　初速度為２４ｍ／ｓ
Ｂ　加速度為－１２ｍ／ｓ2
Ｃ　質點在第４秒末速度為０
Ｄ　質點在第４秒末回到原出發點
Ｅ　最遠的正向距離為２４ｍ

《觀念以一貫之，迎刃而解》


※記住：微分求斜率！

※對x-t圖微分，可得斜率v(t)；對v-t微分，可得斜率a(t)

簡單來說，對 x微分得到v，對v微分得到a（因為微分是在求斜率！）


ｘ＝－６ｔ2＋２４ｔ

v ＝－１２t＋２４ (一次微分)

a ＝－１２（二次微分）

(微分符號 lim趨近於零在此省略不寫，乃因為文書不便！)

有了速度，有了加速度，配合運動學三大公式，迎刃何解！

V=Vo+at
S=Vot+1/2at^2
V^2=Vo^2+2aS



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重點在你懂如何利用微分求解了吧？ 此題便不多說，相信運動學應該會解！

有些學校會教微分，甚至教積分！






2011-08-24 18:19:49 補充：
題目若有給 x的一元二次方程式，變可求得任何題目想問的東西

沒錯！

2011-08-24 18:21:28 補充：
我想不會考"積分"的題目，畢竟你們沒有教

2011-08-24 18:23:49 補充：
是指 切線斜率

微分乃求斜率的一種數學技巧

2011-08-24 18:24:39 補充：
切線斜率－瞬時， 微分包含極限的意思

2011-08-24 19:07:33 補充：
《自由落體》利用 運動學三大公式配合初速=０便可解決

《相對運動》利用觀念解決

何需使用到微分呢？

2011-08-24 20:39:43 補充：
高中空氣阻力不計，若計空氣阻力還得考慮"終端速度"，此範圍是說不在高中

建議畫圖出來

ｘ＝－６ｔ2＋２４ｔ

畫出xt圖 用微分求到 -12t+24=0 t = 2 圖形的對稱軸 在 t = 2 的地方

用來解 (D)(E)

在 把xt 畫成 vt 圖 x/t =v (距離 除以 時間 等於 速率) 帶到這裡面ｘ＝－６ｔ2＋２４ｔ

v= -6t + 24 就可以解(A)(B)(C)了

基本上 我是在想....做題目的時候根本不會想到那嚜多 用越簡單的方法越好

Q:為什麼x微分就是v?
A: 在微積分 這lim (分母趨近於0)delta-某量A/delta-某量B
叫做"差商", 可記為dA/dB 代表A對B微分

所以dx/dt 叫做x對t微分=lim(delta-t趨近於0) delta-x/delta-t
=極限值(時間差很小很小)[位移/經過時間]
= 瞬時...............................[速度]

位移的多項式經一次微分是速度,速度再一次微分是加速度.
微分的方式(應該說技巧)上面 無聊ａ人 有說明了~
將次方乘上前面係數後再減一

2011-08-24 18:21:58 補充：
我記得x的多項式微分後變成v的原因好像是因為圖型切線的關係,不曉得有沒有記錯.看看誰來說得更清楚點~

應該說有了x-t圖,你只要會轉換成多項式的型式,再作上面的步驟微分就可以了~

多項式微分其實國中生也可以教會= = 很多人是國中就會微了
多項式簡單說就是"次方乘係數降一次"

x(t)=-6t^2+24t

二次方 所以前面係數乘2 一次方 前面係數乘1

v(t)=-12t+24

常數微分必為0 可以想像是 某個常數*t的零次方 零次方乘下來必為零

2011-08-24 16:32:48 補充：
第二行是多項式微分　少打微分兩字

2011-08-24 19:29:15 補充：
這個能運用在自由落體與相對運動上嗎？

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當然!!....

考慮空氣阻力的自由落體還要解微分方程

x是位置方程式
單位時間內位置的變化量就是速度
所以對位置方程式作一次微分可以得到速度方程式
v=-12t+24
單位時間內速度的變化量就是加速度
所以再對速度方程式作一次微分可得加速度方程式
a=-12

所以
A.t=0代入速度方程,v=24
B.等加速度運動,a= -12
C.t=4代入速度方程 v= -24
D.t=4代入位置方程 x=0
E 要求x的最大值,可以用配方法或用一次微分等於0,t=2時有最大值,x=24

如果你沒學過一點微分,不知道那兩個微分怎麼作的,我再教你簡單的微分操作方法

2011-08-24 16:42:48 補充：
首先你要確定你微分的目標
像這題我們會說對t微分,所以除了t以外的變數我們都視為常數

操作過程簡單講就是把次方搬到係數乘起來,然後次方減1(不管次方是分數還是負數,都一樣)
如果本身已經是常數了,就直接消失
用加減號分開的算一項,如果是用乘除相連的就得用連鎖律,稍微麻煩一點,不過你應該不會用到

所以這題x= -6t^2+24t 作一次微分
v=-6*2*t^(2-1)+24*t^(1-1) = -12t+24
再作一次微分
a= -12*t^(1-1) =-12

2011-08-24 20:23:54 補充：
1.
不複雜,你只是不清楚微分的定義,不過因為你是速成,所以這也沒辦法

以你舉的例子來說,微分是求"單位時間內函數的變化量"的方法
你在10秒內從x=3移動到x=23,你的秒速就是(23-3)/10=2
這個23-3就是函數的變化量,除以10,就是單位時間內函數的變化量
所以一次微分x函數後可以得到v函數

同樣的道理,a是v的單位時間內的變化量,
所以一次微分v函數後,可以變成a函數

2.
就概念上來說對,但是你也要看那個圖寫不寫得出方程式,寫不出來你也不會微啊
如果是分段式的,你可以依圖自己作出不同段落的v函數及a函數,但是...
對我來說這樣還不如直接用圖寫出直線運動公式會快....

2011-08-24 20:29:14 補充：
3.
當然可以
自由落體只是沒有初速度,加速度固定的直線運動
所以只需要再一個未知數就可以寫成方程式了

4.
就算考慮阻力,也只需要修改加速度而已,這要看阻力作用時間有多久
我是覺得,除非題目是給你x-t方程(像你寫的那樣),不然的話用國中學的4個直線運動公式是最快的
總共五個條件,判斷出你有哪三個條件,你需要求哪一個條件,選用只有這四個條件的公式,就解出來了...自由落體只是天生就有兩個條件已知的直線運動

畫圖.由切.割線可知