誰能幫我證明實數指數的問題

實數指數的定義方式以口頭上說法是: 將有理指數的各個值標示在平面座標上, 再用一條平滑曲線連起來即完成. 用數學的方式描述則是: 對於 a^r, 其中 r 為實數, 我們先以一個嚴格遞增的有理數列

　　　　　　　
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{r_n\}


表示 r, 例如, 對
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{2}
, 我們可取{r_n} 為 {1,1.4,1.41,1.414,1.4142,....}。接著, 根據 a^r其實就定義成

　　　　　　　
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^r := \lim_{n\to\infty}a^{r_n}
.

藉由這個定義, 我們不難證明三條指數律:

(i)
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex? a^r\cdot a^s=a^{r+s}


[證明] 取
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{r_n + s_n\}\to r+s
, 因此


圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^r\cdot a^s = \lim_{n\to\infty} a^{r_n}\cdot\lim_{n\to\infty} a^{s_n} = \lim_{n\to\infty} (a^{r_n}\cdot a^{s_n})


　　　　
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex? = \lim_{n\to\infty} a^{r_n + s_n}=a^{r+s}



(ii)
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a^r)^s = a^{rs}


[證明] 取
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{r_n s_n\}\to rs
, 因此


圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a^r)^s = \lim_{m\to\infty}( \lim_{n\to\infty} a^{r_n} )^{s_n} =\lim_{m\to\infty} \lim_{n\to\infty}(a^{r_n} )^{s_n}


　　　　
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?=\lim_{m\to\infty} \lim_{n\to\infty}a^{r_n s_n} = a^{rs}


(iii)
圖片參考：http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^r \cdot b^r = (ab)^r


它的證明就給你自己動腦了，不難。

2011-09-01 22:37:18 補充：
更正：
(a) "根據 a^r其實就定義成" 這句的 "根據" 兩字應去掉.
(b) 證明(ii)的s_n 全部都應該改成s_m .

怎麼投無滿意解呢OAO?

解答已經把指數律的條件
從有理數指數推廣到實數指數

也就是無理數指數滿足指數律證完了啊OAO

基本上我也沒有看過別的證法就是了OAO

先弄清楚什麼是 "指數律" 吧!

一個數, 或一個簡單的指數算式, 要證明滿足指數律?
真是天大的難題!

2011-09-01 22:14:18 補充：
把乘冪擴充定義到一般實數有不同方法.

要證明指數律, 先把定義弄清楚吧!