✔ 最佳答案
實數指數的定義方式以口頭上說法是: 將有理指數的各個值標示在平面座標上, 再用一條平滑曲線連起來即完成. 用數學的方式描述則是: 對於 a^r, 其中 r 為實數, 我們先以一個嚴格遞增的有理數列
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{r_n\}
表示 r, 例如, 對
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{2}
, 我們可取{r_n} 為 {1,1.4,1.41,1.414,1.4142,....}。接著, 根據 a^r其實就定義成
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^r := \lim_{n\to\infty}a^{r_n}
.
藉由這個定義, 我們不難證明三條指數律:
(i)
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex? a^r\cdot a^s=a^{r+s}
[證明] 取
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{r_n + s_n\}\to r+s
, 因此
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^r\cdot a^s = \lim_{n\to\infty} a^{r_n}\cdot\lim_{n\to\infty} a^{s_n} = \lim_{n\to\infty} (a^{r_n}\cdot a^{s_n})
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex? = \lim_{n\to\infty} a^{r_n + s_n}=a^{r+s}
(ii)
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a^r)^s = a^{rs}
[證明] 取
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{r_n s_n\}\to rs
, 因此
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a^r)^s = \lim_{m\to\infty}( \lim_{n\to\infty} a^{r_n} )^{s_n} =\lim_{m\to\infty} \lim_{n\to\infty}(a^{r_n} )^{s_n}
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?=\lim_{m\to\infty} \lim_{n\to\infty}a^{r_n s_n} = a^{rs}
(iii)
圖片參考：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^r \cdot b^r = (ab)^r
它的證明就給你自己動腦了，不難。
2011-09-01 22:37:18 補充：
更正：
(a) "根據 a^r其實就定義成" 這句的 "根據" 兩字應去掉.
(b) 證明(ii)的s_n 全部都應該改成s_m .
