數學知識交流---機率

P(兩數互質)
= P(兩數不能同時整除任何質數)
= P(兩數不能同時整除2) x P(兩數不能同時整除3) x P(兩數不能同時整除5) x P(兩數不能同時整除7) x P(兩數不能同時整除11) x P(兩數不能同時整除13) x P(兩數不能同時整除17) x ......
= (1 - 1/2²) (1 - 1/3²) (1 - 1/5²) (1 - 1/7²) (1 - 1/11²) (1 - 1/13ˢ) (1 - 1/17ˢ) x ......
考慮歐拉展式 : 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + 1/6ˢ + 1/7ˢ + 1/8ˢ + ...... = 1 / [(1 - 1/2ˢ) (1 - 1/3ˢ) (1 - 1/5ˢ) (1 - 1/7ˢ) (1 - 1/11ˢ) (1 - 1/13ˢ) (1 - 1/17ˢ) x ......]
令 s = 2 , 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² + 1/8² + ...... = 1 / [(1 - 1/2²) (1 - 1/3²) (1 - 1/5²) (1 - 1/7²) (1 - 1/11²) (1 - 1/13²) (1 - 1/17²) x ......]
(1 - 1/2²) (1 - 1/3²) (1 - 1/5²) (1 - 1/7²) (1 - 1/11²) (1 - 1/13²) (1 - 1/17²) x ......= 1 / (1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² + 1/8² + ......)
= 1 / (π² / 6)
= 6 / π²
≈ 60.8 %