升中五數學幾題~

1a 解方程 log9x + log27x = 5 。
a =log9x, x = 9^a, x = 3^2^a, x = 3^(2a)
b =log27x, x = 27^b, x = 3^(3b)
2a = 3b
b =2/3 a
log 27x = 2/3 log9x ----------------- (1)
log9x +2/3 log9x = 5
5/3 log9x = 5
log9x = 3
x =9^3
x = 729

1b 求log9x^3 + log27x^3 的值。
log9x^3 + log27x^3
3log9x + 3 log27x
But log 27x = (2/3) log9x from equation (1) above
3log9x + 3 (2/3)log9x
3log9x + 3 (2/3)log9x
3log9x + 2log9x
5log9x

2. 若t年後某城市中40歲或以上的人數和40歲以下的人數分別是20,000(1.003)^t和22,000(0.991)^t，問最少多少年後該城市中40歲或以上的人數比40歲以下的人數多?
20,000(1.003)^t = 22,000(0.991)^t
22,000/ 20,000(0.991)^t = 1.003^t
1.1(0.991)^t = 1.003^t
Ttaking log on both sides
log1.1 +log(0.991)^t = log(1.003^t
log1.1 +t log(0.991) = tlog(1.003)
0.041392685 -0.003926345t = 0.001300933t
0.005227278t = 0.041392685
t = 0.041392685/0.005227278
t = 7.9186

最少 8年後該城市中40歲或以上的人數比40歲以下的人數多

7年後40歲或以上的人數 = 20,000(1.003)^7 = 20424
7年後40歲或以下的人數 = 22,000(0.991)^7 = 20651

8年後40歲或以上的人數 = 20,000(1.003)^8 = 20485
8年後40歲或以下的人數 = 22,000(0.991)^8 = 20465